(2 pontos): Identifique, descreva e esboce o gráfico da quádrica
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de segunda ordem em
e pede para identificar que tipo de quádricas é, descrever suas principais características (centro, eixos, seções transversais, assíntotas) e esboçar o gráfico. O conteúdo usado aqui é: completar quadrados, escrever em forma canônica e classificar pelo número de sinais positivos e negativos (assinatura).
Passo 2
Começamos completando o quadrado no termo em
:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Isolamos o termo em
e dividimos por
para chegar à forma canônica:
Passo 4
Na forma
vemos um termo positivo em
e dois termos negativos em
e
. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, com:
• Centro efetivo em devido ao deslocamento em
.
• Eixo principal ao longo da reta .
• Centro efetivo em
• Eixo principal ao longo da reta
Passo 5
Seções transversais por planos
:
- Para
não há solução real (superfície vazia). - Para
obtemos apenas o ponto . - Para
obtemos elipses centradas em cuja equação é
Passo 6
O cone assintótico obtido fazendo o lado direito igual a zero é
que serve de guia para o “alargamento” das folhas do hiperbolóide à medida que
.
Passo 7
Esboço qualitativo (seções elípticas paralelas ao plano
, duas folhas, deslocamento em
):
z
↑
| _________ ← folha superior para z>1
| / \
| / \
| \ /
----------+----------------------------→ x
| / \
| / \
| \___________/ ← folha inferior para z<−1
Cada uma dessas elipses está centrada em
. Entre
e
não há superfície.
Resposta
Trata-se de um hiperbolóide de duas folhas com centro em
e eixo principal paralelo ao eixo
, cujas seções por
são elipses para
e inexistem para
. As folhas aparecem em
e
.