(2 pontos): Identifique, descreva e esboce o gráfico da quádrica
2 x^2+y^2-4 z^2+2 y+5=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segunda ordem em R^3
2x^2 + y^2 - 4z^2 + 2y + 5 = 0
e pede para identificar que tipo de quádricas é, descrever suas principais características (centro, eixos, seções transversais, assíntotas) e esboçar o gráfico. O conteúdo usado aqui é: completar quadrados, escrever em forma canônica e classificar pelo número de sinais positivos e negativos (assinatura).

Passo 2

Começamos completando o quadrado no termo em y:
y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1
Substituindo na equação original:
2x^2 + l((y+1)^2 - 1r) -4z^2 +5 = 0 Longrightarrow 2x^2 + (y+1)^2 -4z^2 +4 = 0

Passo 3

Isolamos o termo em z e dividimos por 4 para chegar à forma canônica:
2x^2 + (y+1)^2 -4z^2 = -4 Longrightarrow -,2x^2 - (y+1)^2 + 4z^2 = 4 Longrightarrow z^21 ;-;x^22;-;(y+1)^24 ;=; 1

Passo 4

Na forma
z^21 ;-;x^22;-;(y+1)^24 = 1
vemos um termo positivo em z^2 e dois termos negativos em x^2 e (y+1)^2. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, com:
• Centro efetivo em (0,-1,0) devido ao deslocamento em y.
• Eixo principal ao longo da reta (0,-1,z)mid zinR.

Passo 5

Seções transversais por planos z = z0:
  • Para lvert z0rvert < 1 não há solução real (superfície vazia).
  • Para lvert z0rvert = 1 obtemos apenas o ponto (0,-1,z0).
  • Para lvert z0rvert > 1 obtemos elipses centradas em l(0,-1,z0r) cuja equação é x^22(,z0^2-1,) ;+;(y+1)^24(,z0^2-1,) = 1

Passo 6

O cone assintótico obtido fazendo o lado direito igual a zero é
z^21 ;-;x^22;-;(y+1)^24 = 0,
que serve de guia para o “alargamento” das folhas do hiperbolóide à medida que lvert zrverttoinfty.

Passo 7

Esboço qualitativo (seções elípticas paralelas ao plano xy, duas folhas, deslocamento em y):
          z
          ↑
          |        _________      ← folha superior para z>1
          |       /         \
          |      /           \
          |      \           /
----------+----------------------------→ x
          |      /           \
          |     /             \
          |     \___________/         ← folha inferior para z<−1
Cada uma dessas elipses está centrada em (0,-1,z0). Entre z=-1 e z=1 não há superfície.

Resposta

Trata-se de um hiperbolóide de duas folhas com centro em (0,-1,0) e eixo principal paralelo ao eixo z, cujas seções por z=const são elipses para lvert zrvert>1 e inexistem para lvert zrvert<1. As folhas aparecem em ;z>=1 e ;z<=-1.

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