Mostrar que:
n^{7}+n é divisível por 7 \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \,n^{7}+n é divisível por 7 para todo n\in\mathbb{N}. Em teoria dos números, um resultado clássico é que, para um primo p, vale
n^{p}\equiv n\pmod{p},
o que decorre do Teorema de Fermat (ou de propriedades de anéis finitos). Aqui temos p=7.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Fermat para p=7, obtemos que, quando \gcd(n,7)=1,
n^{7}\equiv n\pmod{7} \quad\Longrightarrow\quad n^{7}+n\equiv n+n=2n\pmod{7}.
Se 7\mid n, então obviamente 7\mid n^{7} e 7\mid n, logo 7\mid(n^{7}+n). Mas, se \gcd(n,7)=1, então
n^{7}+n\equiv 2n\pmod{7},
e para que 7\mid (n^{7}+n) seria necessário 7\mid 2n, ou seja, 7\mid n, o que contradiz \gcd(n,7)=1. Portanto, em geral não temos 7\mid(n^{7}+n).

Passo 3

Basta um contraexemplo para concluir que a afirmação “ \,n^{7}+n é divisível por 7 para todo n\in\mathbb{N}” é falsa. Tomemos n=1:
1^{7}+1=1+1=2,
e 2 não é múltiplo de 7.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, para n=1 temos 1^{7}+1=2, que não é divisível por 7.

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