Mostrar que
|a| \leq|b| \Longleftrightarrow(a+b)(a-b) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para provar que a desigualdade entre módulos
|a| \leq |b|
é equivalente à desigualdade envolvendo produto
(a+b)(a-b) \leq 0.
Suponho que a e b sejam números reais (é a situação mais natural para desigualdades com \leq). Não há outros dados além desses símbolos.

Passo 2

Observação útil (identidade algébrica que vamos usar várias vezes): para quaisquer números reais a,b vale a igualdade
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Isso é apenas a diferença de quadrados; é uma identidade exata, sem condições.

Passo 3

Prova da implicação (a+b)(a-b)\le 0 \Longrightarrow |a|\le|b|.
Como (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}, a hipótese (a+b)(a-b)\le 0 pode ser reescrita como
a^{2}-b^{2}\le 0,
ou seja
a^{2}\le b^{2}.
Para números reais, a^{2} e b^{2} são não negativos, e lembrando a definição de valor absoluto como raiz quadrada do quadrado,
|a|=\sqrt{a^{2}},\qquad |b|=\sqrt{b^{2}}.
A função \sqrt{\cdot} é crescente no intervalo [0,\infty), portanto de a^{2}\le b^{2} segue
\sqrt{a^{2}}\le \sqrt{b^{2}},
isto é
|a|\le |b|.
Assim a primeira implicação está provada.

Passo 4

Prova da implicação |a|\le|b| \Longrightarrow (a+b)(a-b)\le 0.
Partindo de |a|\le|b|, como os dois lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado preservando a desigualdade (a função x\mapsto x^{2} é crescente em [0,\infty)). Então
|a|^{2}\le |b|^{2}.
Mas |a|^{2}=a^{2} e |b|^{2}=b^{2}, portanto
a^{2}\le b^{2},
o que implica
a^{2}-b^{2}\le 0.
Usando a identidade do Passo 2, a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b), obtemos
(a+b)(a-b)\le 0.
Assim a segunda implicação também está provada.

Passo 5

Comentário final e interpretação: as duas implicações juntas mostram a equivalência desejada. Note que a igualdade ocorre exatamente quando a^{2}=b^{2}, ou seja quando a=\pm b; nessas situações temos |a|=|b| e (a+b)(a-b)=0.

Resposta

|a|\le|b|\Longleftrightarrow (a+b)(a-b)\le 0

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