Mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para provar que a desigualdade entre módulos
é equivalente à desigualdade envolvendo produto
Suponho que
e
sejam números reais (é a situação mais natural para desigualdades com
). Não há outros dados além desses símbolos.
Passo 2
Observação útil (identidade algébrica que vamos usar várias vezes): para quaisquer números reais
vale a igualdade
Isso é apenas a diferença de quadrados; é uma identidade exata, sem condições.
Passo 3
Prova da implicação
.
Como
, a hipótese
pode ser reescrita como
ou seja
Para números reais,
e
são não negativos, e lembrando a definição de valor absoluto como raiz quadrada do quadrado,
A função
é crescente no intervalo
, portanto de
segue
isto é
Assim a primeira implicação está provada.
Passo 4
Prova da implicação
.
Partindo de
, como os dois lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado preservando a desigualdade (a função
é crescente em
). Então
Mas
e
, portanto
o que implica
Usando a identidade do Passo 2,
, obtemos
Assim a segunda implicação também está provada.
Passo 5
Comentário final e interpretação: as duas implicações juntas mostram a equivalência desejada. Note que a igualdade ocorre exatamente quando
, ou seja quando
; nessas situações temos
e
.