Sejam
e
números inteiros em progressão geométrica. Mostrar que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
, e são números inteiros dispostos em progressão geométrica. - Pede-se para mostrar a igualdade
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Por estarem em progressão geométrica, existe um número (razão)
tal que e . - Uma consequência muito útil dessa definição é a relação
, que vamos usar na demonstração.
Passo 2
Vou explicar por que vale
. Se
é o termo do meio numa progressão geométrica com razão
, então, por definição,
e
Agora calcule
e
separadamente:
e
Como as duas expressões são iguais, concluímos que
Passo 3
Agora vou trabalhar diretamente com o produto pedido. Observe que
pode ser visto como um produto da forma
se tomarmos
e
. A identidade básica de produtos notáveis diz que
Aplicando com
e
obtemos
Passo 4
Vou expandir
explicitamente para que fique claro cada termo:
Substituindo isso na expressão do passo anterior temos
Passo 5
Agora usamos a relação provada no Passo 2, isto é,
. Substituindo
por
na expressão do Passo 4:
Passo 6
Simplifico os termos semelhantes na expressão do Passo 5. Note que
, então
Passo 7
Finalmente, novamente usando
, substituo
por
na expressão do Passo 6:
Passo 8
Concluímos, portanto, que
como era necessário demonstrar.