Sejam a, b e c números inteiros em progressão geométrica. Mostrar que (a+b+c)(a-b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a, b e c são números inteiros dispostos em progressão geométrica.
  • Pede-se para mostrar a igualdade
(a+b+c)(a-b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Por estarem em progressão geométrica, existe um número (razão) r tal que b=ar e c=ar^{2}.
  • Uma consequência muito útil dessa definição é a relação \,b^{2}=ac\,, que vamos usar na demonstração.

Passo 2

Vou explicar por que vale \,b^{2}=ac. Se b é o termo do meio numa progressão geométrica com razão r, então, por definição,
b = a r
e
c = a r^{2}.
Agora calcule b^{2} e ac separadamente:
b^{2} = (a r)^{2} = a^{2} r^{2}
e
ac = a \cdot (a r^{2}) = a^{2} r^{2}.
Como as duas expressões são iguais, concluímos que
b^{2} = ac.

Passo 3

Agora vou trabalhar diretamente com o produto pedido. Observe que
(a+b+c)(a-b+c)
pode ser visto como um produto da forma (X+Y)(X-Y) se tomarmos X=a+c e Y=b. A identidade básica de produtos notáveis diz que
(X+Y)(X-Y)=X^{2}-Y^{2}.
Aplicando com X=a+c e Y=b obtemos
(a+b+c)(a-b+c) = (a+c)^{2} - b^{2}.

Passo 4

Vou expandir (a+c)^{2} explicitamente para que fique claro cada termo:
(a+c)^{2} = a^{2} + 2ac + c^{2}.
Substituindo isso na expressão do passo anterior temos
(a+b+c)(a-b+c) = a^{2} + 2ac + c^{2} - b^{2}.

Passo 5

Agora usamos a relação provada no Passo 2, isto é, \,b^{2}=ac. Substituindo b^{2} por ac na expressão do Passo 4:
a^{2} + 2ac + c^{2} - b^{2} = a^{2} + 2ac + c^{2} - ac.

Passo 6

Simplifico os termos semelhantes na expressão do Passo 5. Note que 2ac - ac = ac, então
a^{2} + 2ac + c^{2} - ac = a^{2} + ac + c^{2}.

Passo 7

Finalmente, novamente usando \,ac=b^{2}, substituo ac por b^{2} na expressão do Passo 6:
a^{2} + ac + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

Passo 8

Concluímos, portanto, que
(a+b+c)(a-b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2},
como era necessário demonstrar.

Resposta

(a+b+c)(a-b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}

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