Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o grupo multiplicativo Z11^*, que consiste em todos os números inteiros entre 1 e 10 que são coprimos com 11. Precisamos encontrar um número x nesse grupo tal que quando multiplicamos 4 por x, o resultado seja o inverso multiplicativo de 10 no módulo 11. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de inversos multiplicativos e propriedades dos grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o inverso multiplicativo de 10 no módulo 11. O inverso multiplicativo de um número a no módulo n é um número b tal que a cdot b equiv 1 pmodn. Então, queremos encontrar b tal que 10 cdot b equiv 1 pmod11.
Vamos testar os números de 1 a 10:
10 cdot 1 = 10 equiv 10 pmod11
10 cdot 2 = 20 equiv 9 pmod11
10 cdot 10 = 100 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 10 no módulo 11 é 10.
Passo 3
Agora, temos a equação 4 cdot x = 10 no módulo 11. Queremos resolver para x. Para isso, precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 4 no módulo 11, e então multiplicar ambos os lados da equação por esse inverso.
Vamos encontrar o inverso de 4 no módulo 11, ou seja, um número c tal que 4 cdot c equiv 1 pmod11.
Testando os números:
4 cdot 3 = 12 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 4 é 3.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação 4 cdot x equiv 10 pmod11 pelo inverso de 4 (que é 3):