Resolva no grupo multiplicativo Z11^*: 4 x=(10)^-1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o grupo multiplicativo Z11^*, que consiste em todos os números inteiros entre 1 e 10 que são coprimos com 11. Precisamos encontrar um número x nesse grupo tal que quando multiplicamos 4 por x, o resultado seja o inverso multiplicativo de 10 no módulo 11. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de inversos multiplicativos e propriedades dos grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o inverso multiplicativo de 10 no módulo 11. O inverso multiplicativo de um número a no módulo n é um número b tal que a cdot b equiv 1 pmodn. Então, queremos encontrar b tal que 10 cdot b equiv 1 pmod11.
Vamos testar os números de 1 a 10:
  • 10 cdot 1 = 10 equiv 10 pmod11
  • 10 cdot 2 = 20 equiv 9 pmod11
  • 10 cdot 10 = 100 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 10 no módulo 11 é 10.

Passo 3

Agora, temos a equação 4 cdot x = 10 no módulo 11. Queremos resolver para x. Para isso, precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 4 no módulo 11, e então multiplicar ambos os lados da equação por esse inverso.
Vamos encontrar o inverso de 4 no módulo 11, ou seja, um número c tal que 4 cdot c equiv 1 pmod11.
Testando os números:
  • 4 cdot 3 = 12 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 4 é 3.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação 4 cdot x equiv 10 pmod11 pelo inverso de 4 (que é 3):
3 cdot 4 cdot x equiv 3 cdot 10 pmod11
Simplificando:
1 cdot x equiv 30 pmod11
Como 30 equiv 8 pmod11, temos:
x equiv 8 pmod11

Resposta

O valor de x é 8.

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