Questão 1: (2,5 pontos) Calcule a integral
onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla
sobre a região
limitada pelo cilindro
e pelos planos
,
e
no primeiro octante. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas, projetando a região em planos coordenados para escolher uma ordem de integração conveniente.
Passo 2
Como estamos no primeiro octante, temos
,
,
. O cilindro
impõe que, projetando em
, a região é o quarto de disco
Para cada ponto
, o plano
dá
, e o plano
fixa o limite inferior em
.
Passo 3
Portanto podemos escrever
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Logo a integral fica
Passo 5
Agora integramos em
:
Multiplicando pelo fator
resulta a integral em
:
Passo 6
Calculando
temos