Questão 1: (2,5 pontos) Calcule a integral
\iiint_{E} 2 x z d V
onde E é a região limitada pelo cilindro y^{2}+z^{2}=16 e pelos planos x=0, y=4 x e z=0 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{E}2xz\,dV
sobre a região E limitada pelo cilindro y^2+z^2=16 e pelos planos x=0, y=4x e z=0 no primeiro octante. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas, projetando a região em planos coordenados para escolher uma ordem de integração conveniente.

Passo 2

Como estamos no primeiro octante, temos x\ge0, y\ge0, z\ge0. O cilindro y^2+z^2=16 impõe que, projetando em yz, a região é o quarto de disco
D=\{(y,z)\mid 0\le y\le4,\;0\le z\le\sqrt{16-y^2}\}.
Para cada ponto (y,z)\in D, o plano y=4x x=\tfrac y4, e o plano x=0 fixa o limite inferior em x=0.

Passo 3

Portanto podemos escrever
\iiint_{E}2xz\,dV =\int_{y=0}^{4}\int_{z=0}^{\sqrt{16-y^2}}\int_{x=0}^{y/4}2xz\;dx\;dz\;dy.

Passo 4

Integramos primeiro em x:
\int_{0}^{y/4}2xz\;dx =2z\int_{0}^{y/4}x\;dx =2z\cdot\frac{1}{2}\Bigl(\frac{y}{4}\Bigr)^{2} =\frac{y^{2}z}{16}.
Logo a integral fica
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{16-y^2}}\frac{y^{2}z}{16}\;dz\;dy.

Passo 5

Agora integramos em z:
\int_{0}^{\sqrt{16-y^2}}z\;dz =\frac{1}{2}\bigl(16-y^{2}\bigr).
Multiplicando pelo fator \frac{y^{2}}{16} resulta a integral em y:
\int_{0}^{4}\frac{y^{2}}{16}\cdot\frac{16-y^{2}}{2}\;dy =\int_{0}^{4}\frac{y^{2}(16-y^{2})}{32}\;dy.

Passo 6

Calculando
\int_{0}^{4}\bigl(16y^{2}-y^{4}\bigr)dy =16\cdot\frac{4^{3}}{3}-\frac{4^{5}}{5} =\frac{1024}{3}-\frac{1024}{5} =1024\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\Bigr) =\frac{2048}{15},
temos
\int_{0}^{4}\frac{y^{2}(16-y^{2})}{32}\;dy =\frac{1}{32}\cdot\frac{2048}{15} =\frac{64}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{64}{15}

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