Verificar que não são sub-espaços vetoriaís do
:
(c)
Em cada caso quais axiomas não se verificam? (Q é o conjunto dos números racionais.)
(c)
Em cada caso quais axiomas não se verificam? (Q é o conjunto dos números racionais.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não é subespaço vetorial de
.
Para isso vamos usar os critérios de subespaço:
Para isso vamos usar os critérios de subespaço:
-
? - Se
, então ? - Se
e , então ?
Passo 2
Verificamos a presença do vetor nulo
em
.
Como é falso, não temos
. Logo
Como
Portanto o axioma da existência do vetor zero falha.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Se
e
satisfazem
então, coordenada a coordenada,
logo
. Assim o fechamento sob adição é satisfeito.
Passo 4
Agora analisamos a multiplicação por escalar. Tome
(pois
) e
.
Então
Então
não satisfaz
(na verdade
é falso).
Portanto , e o axioma de fechamento sob multiplicação por escalar falha.
Portanto
Resposta
O conjunto
não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto falham os axiomas de presença do vetor zero e de fechamento sob escalar.