Verificar que não são sub-espaços vetoriaís do \mathbf{R}^{3} :
(c) \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x<y<z\}
Em cada caso quais axiomas não se verificam? (Q é o conjunto dos números racionais.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x < y < z\}
não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Para isso vamos usar os critérios de subespaço:
  1. \mathbf{0}\in S?
  2. Se \mathbf{u},\mathbf{v}\in S, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S?
  3. Se \mathbf{u}\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda\mathbf{u}\in S?

Passo 2

Verificamos a presença do vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0) em S.
Como 0<0 é falso, não temos 0<0<0. Logo
\mathbf{0}\notin S.
Portanto o axioma da existência do vetor zero falha.

Passo 3

Mostramos que S é fechado sob soma. Se \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2) satisfazem
x_1<y_1<z_1 \quad\text{e}\quad x_2<y_2<z_2,
então, coordenada a coordenada,
x_1+x_2 \;<\; y_1+y_2 \quad\text{e}\quad y_1+y_2 \;<\; z_1+z_2,
logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S. Assim o fechamento sob adição é satisfeito.

Passo 4

Agora analisamos a multiplicação por escalar. Tome \mathbf{u}=(1,2,3)\in S (pois 1<2<3) e \lambda=-1.
Então
\lambda\mathbf{u} = (-1,-2,-3)
não satisfaz -1< -2< -3 (na verdade -1< -2 é falso).
Portanto \lambda\mathbf{u}\notin S, e o axioma de fechamento sob multiplicação por escalar falha.

Resposta

O conjunto S não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto falham os axiomas de presença do vetor zero e de fechamento sob escalar.

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