(Questão 01) [3,0 pontos] Assinale F para as afirmaçōes FAISAS e V para afirmı VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) Se \pi_{1} / / \pi_{2} e \pi_{1} \cap \pi_{2}=\emptyset, d\left(\pi_{1}, \pi_{2}\right) \neq 0.
( ) \mathrm{Se}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é LI, então [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=[\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}].
( ) \operatorname{Se}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é LD, então [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]>0.
( ) \vec{u} \wedge \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}.
( ) Se r: X=A+\lambda \vec{r} e s: X=B+\lambda \vec{s} são reversas, então d(r, s)=\frac{\|\overrightarrow{A B}, \vec{r}, \vec{s}\|}{\|\vec{r} \wedge \vec{s}\|}.
( ) r / / s \Rightarrow \operatorname{ang}(r, s)=0.

Passo 1

O enunciado pede que marquemos V (verdadeiro) ou F (falso) em seis afirmações sobre geometria analítica no espaço: distância entre planos paralelos, produto misto ( [\cdot,\cdot,\cdot]), produto vetorial ( \wedge), distância entre retas reversas e ângulo entre retas paralelas. Vamos usar:
  • Para planos paralelos disjuntos, a distância é positiva.
  • Para o produto misto, trocar dois vetores muda o sinal e se os vetores são LD o produto misto é zero.
  • Para o produto vetorial, \vec u\wedge\vec v=0 indica paralelismo.
  • Fórmula da distância entre retas reversas via produto misto.
  • Definição de ângulo entre vetores.

Passo 2

Afirmação 1: “Se \pi_{1}\parallel\pi_{2} e \pi_{1}\cap\pi_{2}=\emptyset, então d(\pi_{1},\pi_{2})\neq0.”
Planos paralelos e disjuntos têm distância estritamente positiva.
Logo, essa afirmação é verdadeira (V).

Passo 3

Afirmação 2: “Se (\vec u,\vec v,\vec w) é LI, então [\vec u,\vec v,\vec w]=[\vec v,\vec u,\vec w].”
Como trocar dois vetores no produto misto inverte o sinal,
[\vec v,\vec u,\vec w]=-[\vec u,\vec v,\vec w]\neq[\vec u,\vec v,\vec w].
Logo é falsa (F).
Afirmação 3: “Se (\vec u,\vec v,\vec w) é LD, então [\vec u,\vec v,\vec w]>0.”
Se são LD, o produto misto vale zero, não pode ser positivo.
Logo é falsa (F).

Passo 4

Afirmação 4: “ \vec u \wedge \vec v=0\Leftrightarrow \vec u \perp \vec v.”
Na verdade \vec u\wedge\vec v=0 indica que \vec u e \vec v são paralelos (ou nulos), não perpendiculares.
Logo é falsa (F).

Passo 5

Afirmação 5: “Se r:X=A+\lambda\vec r e s:X=B+\mu\vec s são reversas, então
d(r,s)=\frac{\|\overrightarrow{AB},\vec r,\vec s\|}{\|\vec r\wedge\vec s\|}.
A fórmula correta é
d(r,s)=\frac{\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\vec r,\vec s]\,\bigr|}{\|\vec r\wedge\vec s\|},
o que coincide com o enunciado usando barras para o valor absoluto.
Logo é verdadeira (V).

Passo 6

Afirmação 6: “ r\parallel s\Rightarrow\mathrm{ang}(r,s)=0.”
O ângulo entre vetores paralelos é
\operatorname{arccos}\frac{|\vec r\cdot\vec s|}{\|\vec r\|\,\|\vec s\|}=0.
Logo é verdadeira (V).

Resposta

V, F, F, F, V, V

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