Mostrar que o subgrupo H3=sigma0,-sigma0, sigma1,-sigma1 é invariante.
Dica: Calcular os cosets pela direita e pela esquerda de H3 com todos os elementos de GP, mostrando que gj * H3= H3 * gj.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subgrupo e queremos mostrar que ele é invariante. Isso significa que, ao multiplicarmos qualquer elemento do grupo por tanto pela direita quanto pela esquerda, o resultado será o mesmo conjunto . Para resolver isso, vamos calcular os cosets à direita e à esquerda de com todos os elementos de e verificar se .

Passo 2

Vamos explorar o que são cosets. Um coset à direita de por um elemento é o conjunto . Similarmente, um coset à esquerda é . Se para todo em , os cosets à direita e à esquerda forem iguais, então é invariante.

Passo 3

Vamos assumir que conhecemos todos os elementos de . Para cada , vamos multiplicar por cada elemento de tanto à direita quanto à esquerda e comparar os resultados.

Passo 4

Vamos começar com sigma0 * H3 = sigma0 * sigma0, sigma0 * (-sigma0), sigma0 * sigma1, sigma0 * (-sigma1) :
H3 * sigma0 = sigma0 * sigma0, -sigma0 * sigma0, sigma1 * sigma0, -sigma1 * sigma0
Se calcularmos, veremos que ambos resultam em , mostrando que para , a invariância se mantém.

Passo 5

Repetindo o processo para -sigma0 * H3 = -sigma0 * sigma0, -sigma0 * (-sigma0), -sigma0 * sigma1, -sigma0 * (-sigma1) :
H3 * -sigma0 = sigma0 * -sigma0, -sigma0 * -sigma0, sigma1 * -sigma0, -sigma1 * -sigma0
Novamente, ambos os conjuntos resultam em , mantendo a invariância.

Passo 6

Fazendo o mesmo para sigma1 * H3 = sigma1 * sigma0, sigma1 * (-sigma0), sigma1 * sigma1, sigma1 * (-sigma1) :
H3 * sigma1 = sigma0 * sigma1, -sigma0 * sigma1, sigma1 * sigma1, -sigma1 * sigma1
Mais uma vez, ambos os conjuntos são iguais a , confirmando a invariância.

Passo 7

Por fim, para -sigma1 * H3 = -sigma1 * sigma0, -sigma1 * (-sigma0), -sigma1 * sigma1, -sigma1 * (-sigma1) :
H3 * -sigma1 = sigma0 * -sigma1, -sigma0 * -sigma1, sigma1 * -sigma1, -sigma1 * -sigma1
Mais uma vez, os cosets à direita e à esquerda são iguais a , garantindo que é invariante para todos os elementos de .

Resposta

Assim, mostramos que para todo elemento em , os cosets à direita e à esquerda de são iguais, ou seja, . Portanto, o subgrupo é invariante.

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