Mostrar que o subgrupo
é invariante.
Dica: Calcular os cosets pela direita e pela esquerda de
com todos os elementos de
, mostrando que
.
Dica: Calcular os cosets pela direita e pela esquerda de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subgrupo
e queremos mostrar que ele é invariante. Isso significa que, ao multiplicarmos qualquer elemento do grupo
por
tanto pela direita quanto pela esquerda, o resultado será o mesmo conjunto
. Para resolver isso, vamos calcular os cosets à direita e à esquerda de
com todos os elementos de
e verificar se
.
Passo 2
Vamos explorar o que são cosets. Um coset à direita de
por um elemento
é o conjunto
. Similarmente, um coset à esquerda é
. Se para todo
em
, os cosets à direita e à esquerda forem iguais, então
é invariante.
Passo 3
Vamos assumir que conhecemos todos os elementos de
. Para cada
, vamos multiplicar
por cada elemento de
tanto à direita quanto à esquerda e comparar os resultados.
Passo 4
Vamos começar com
:
Se calcularmos, veremos que ambos resultam em
, mostrando que para
, a invariância se mantém.
Passo 5
Repetindo o processo para
:
Novamente, ambos os conjuntos resultam em
, mantendo a invariância.
Passo 6
Fazendo o mesmo para
:
Mais uma vez, ambos os conjuntos são iguais a
, confirmando a invariância.
Passo 7
Por fim, para
:
Mais uma vez, os cosets à direita e à esquerda são iguais a
, garantindo que
é invariante para todos os elementos de
.
Resposta
Assim, mostramos que para todo elemento
em
, os cosets à direita e à esquerda de
são iguais, ou seja,
. Portanto, o subgrupo
é invariante.