Mostrar que para todo natural n \geq 1 o número 10^{n+1}-9 n-10 é divisível por 9

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, para todo natural n\ge 1, o número 10^{n+1}-9n-10 é divisível por 9.
Informações dadas (explicitadas): a expressão depende de n, que é um inteiro natural maior ou igual a 1. O objetivo é provar que 9 divide a quantidade
10^{n+1}-9n-10.

Passo 2

Entender o que significa "divisível por 9" e a ferramenta que vamos usar.
Definição: dizer que 9 divide um inteiro A significa que existe um inteiro k tal que A=9k. Em linguagem de congruências isso é escrever A\equiv 0\pmod{9}.
Propriedade útil de congruências: se a\equiv b\pmod{m} então, para todo inteiro r\ge0,
a^{r}\equiv b^{r}\pmod{m}.
Isto segue da definição de congruência e das propriedades da multiplicação. Vou usar essa propriedade com m=9.

Passo 3

Observar a classe de 10 módulo 9. Como 10-1=9 é múltiplo de 9, temos
10\equiv 1\pmod{9}.
Aplicando a propriedade de potências, para todo n\ge 1 vale
10^{n+1}\equiv 1^{n+1}\pmod{9}.
Como 1^{n+1}=1, concluímos
10^{n+1}\equiv 1\pmod{9}.

Passo 4

Calcular a congruência do inteiro em questão. Usando que 10^{n+1}\equiv 1\pmod{9} e que 9n\equiv 0\pmod{9} (pois 9n é múltiplo de 9) e também 10\equiv 1\pmod{9}, obtemos
10^{n+1}-9n-10 \equiv 1-0-1 \pmod{9}.
O lado direito é 1-0-1=0. Logo
10^{n+1}-9n-10\equiv 0\pmod{9},
o que significa exatamente que 9 divide 10^{n+1}-9n-10 para todo n\ge1.

Passo 5

Apresento uma outra forma (equivalente) por fatoração, para reforçar a ideia. Note que
10^{n+1}-9n-10=(10^{n+1}-10)-9n.
Factorizando 10^{n+1}-10 temos
10^{n+1}-10=10\bigl(10^{n}-1\bigr).
A soma geométrica dá
10^{n}-1=(10-1)\bigl(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10+1\bigr)=9\cdot S,
onde S=10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10+1 é um inteiro. Portanto
10^{n+1}-10=10\cdot 9\cdot S=9\cdot(10S).
Substituindo de volta,
10^{n+1}-9n-10=9\cdot(10S)-9n=9\bigl(10S-n\bigr),
e como 10S-n é inteiro, isso mostra mais uma vez que 9 divide 10^{n+1}-9n-10.

Passo 6

Pequena verificação com valores concretos para ganhar confiança:
  • Para n=1: 10^{2}-9\cdot1-10=100-9-10=81, que é 9\cdot9.
  • Para n=2: 10^{3}-18-10=1000-28=972, que é 9\cdot108.
    Esses exemplos batem com a prova geral acima.

Passo 7

Conclusão clara: pelas razões dadas (congruência módulo 9 ou fatoração) a expressão é sempre múltiplo de 9 para todo n\ge1. Firmeza: mostramos que a diferença é congruente a zero módulo 9, portanto é divisível por 9.

Resposta

O número 10^{n+1}-9n-10 é divisível por 9 para todo n\ge 1.

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