Mostrar que para todo natural
o número
é divisível por 9
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, para todo natural
, o número
é divisível por
.
Informações dadas (explicitadas): a expressão depende de , que é um inteiro natural maior ou igual a
. O objetivo é provar que
divide a quantidade
Informações dadas (explicitadas): a expressão depende de
Passo 2
Entender o que significa "divisível por
" e a ferramenta que vamos usar.
Definição: dizer que divide um inteiro
significa que existe um inteiro
tal que
. Em linguagem de congruências isso é escrever
.
Propriedade útil de congruências: se então, para todo inteiro
,
Definição: dizer que
Propriedade útil de congruências: se
Isto segue da definição de congruência e das propriedades da multiplicação. Vou usar essa propriedade com
.
Passo 3
Observar a classe de
módulo
. Como
é múltiplo de
, temos
Aplicando a propriedade de potências, para todo
vale
Como
, concluímos
Passo 4
Calcular a congruência do inteiro em questão. Usando que
e que
(pois
é múltiplo de
) e também
, obtemos
O lado direito é
. Logo
o que significa exatamente que
divide
para todo
.
Passo 5
Apresento uma outra forma (equivalente) por fatoração, para reforçar a ideia. Note que
Factorizando
temos
A soma geométrica dá
onde
é um inteiro. Portanto
Substituindo de volta,
e como
é inteiro, isso mostra mais uma vez que
divide
.
Passo 6
Pequena verificação com valores concretos para ganhar confiança:
- Para
: , que é . - Para
: , que é .
Esses exemplos batem com a prova geral acima.
Passo 7
Conclusão clara: pelas razões dadas (congruência módulo
ou fatoração) a expressão é sempre múltiplo de
para todo
. Firmeza: mostramos que a diferença é congruente a zero módulo
, portanto é divisível por
.
Resposta
O número
é divisível por
para todo
.