1. Mostrar que os vetores v1=(2,1) e v2=(1,1) geram o R^2.
  2. Mostrar que os vetores v1=(1,1,1), v2=(0,1,1) e v3=(0,0,1) geram o IR^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
  1. os vetores ,v1=(2,1) e ,v2=(1,1) geram R^2, ou seja, que todo vetor (x,y)inR^2 pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2;
  2. os vetores ,v1=(1,1,1), ,v2=(0,1,1) e ,v3=(0,0,1) geram R^3, isto é, qualquer (x,y,z)inR^3 é combinação linear deles. Para isso, basta resolver sistemas lineares que definem os coeficientes das combinações.

Passo 2

Para a questão 40, seja
Isso gera o sistema
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
Substituindo em encontramos e , concluímos que e geram .

Passo 3

Para a questão 41, seja
Isso dá o sistema
Da primeira equação vem implica .
Na terceira, .
Logo, qualquer é combinação linear de , e eles geram .

Resposta

  1. Os vetores (2,1) e (1,1) geram R^2.
  2. Os vetores (1,1,1), (0,1,1) e (0,0,1) geram R^3.

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