Mostrar que 3 x^2+4 x^2 equiv 3(bmod 5) é equivalente a 3 x^2-x^2+2 equiv 0(bmod 5).

Passo 1

O enunciado nos dá a congruência
3x^2 + 4x^2 equiv 3 pmod5
O conteúdo é aritmética modular: vamos usar que podemos substituir coeficientes pelos seus resíduos módulo 5 e que estamos livres para passar termos de um lado para o outro.

Passo 2

Calculamos os resíduos dos coeficientes:
4 equiv -1 pmod5 e 3 equiv -2 pmod5

Passo 3

Substituindo 4x^2 por -x^2 e o 3 do lado direito por -2, obtemos
3x^2 + (-x^2) equiv -2 pmod5,
isto é,
3x^2 - x^2 equiv -2 pmod5

Passo 4

Para escrever tudo do mesmo lado, somamos 2 aos dois lados:
3x^2 - x^2 + 2 equiv 0 pmod5
Pronto: chegamos exatamente à forma desejada.

Resposta

3x^2 + 4x^2 equiv 3 pmod5 Long<=ftrightarrow 3x^2 - x^2 + 2 equiv 0 pmod5

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