Mostre que [0,1] não pode ser a união de conjuntos abertos.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que o intervalo fechado [0,1] não pode ser expresso como união (mesmo infinita) de conjuntos abertos em R. O conteúdo aqui é topologia elementar em R: a definição de conjunto aberto e a propriedade de que união arbitrária de abertos é aberta.

Passo 2

Em R, um conjunto U é aberto se, para todo xin U, existe varepsilon>0 tal que (x-varepsilon,,x+varepsilon)subset U. Aí vem a propriedade fundamental: se Uiiin I é qualquer família de abertos, então a união U=cupiin IUi também é aberta, pois dado xin U há pelo menos um índice k com xin Uk e então o mesmo varepsilon que serve para Uk faz (x-varepsilon,x+varepsilon)subset Uksubset U.

Passo 3

Suponha, por contradição, que [0,1]=cupiin IUi com cada Ui aberto. Então [0,1] seria aberto. Mas, tomando x=0in[0,1], pela abertura existiria varepsilon>0 tal que (0-varepsilon,0+varepsilon)subset[0,1]. Como 0-varepsilon<0, esse intervalo contém pontos negativos, o que contradiz [0,1]. Portanto não é possível escrever [0,1] como união de conjuntos abertos.

Resposta

[0,1] não pode ser união de abertos porque, se fosse, seria aberto, mas não existe vizinhança de 0 contida em [0,1], gerando contradição.

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