Mostre que
não pode ser a união de conjuntos abertos.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que o intervalo fechado
não pode ser expresso como união (mesmo infinita) de conjuntos abertos em
. O conteúdo aqui é topologia elementar em
: a definição de conjunto aberto e a propriedade de que união arbitrária de abertos é aberta.
Passo 2
Em
, um conjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que
. Aí vem a propriedade fundamental: se
é qualquer família de abertos, então a união
também é aberta, pois dado
há pelo menos um índice
com
e então o mesmo
que serve para
faz
.
Passo 3
Suponha, por contradição, que
com cada
aberto. Então
seria aberto. Mas, tomando
, pela abertura existiria
tal que
. Como
, esse intervalo contém pontos negativos, o que contradiz
. Portanto não é possível escrever
como união de conjuntos abertos.
Resposta
[0,1] não pode ser união de abertos porque, se fosse, seria aberto, mas não existe vizinhança de 0 contida em [0,1], gerando contradição.