Utilizando as equações abaixo de sinh x e cosh x em termos de exponencias, demostre as identidades abaixo.
sinh x=e^x-e^-x2
cosh x=e^x+e^-x2
tanh x=sinh xcosh x=e^x-e^-xe^x+e^-x

Passo 1

O enunciado nos lembra as definições das funções hiperbólicas em termos de exponenciais e pede para demonstrar as seguintes identidades:
sinh x=e^x-e^-x2,
cosh x=e^x+e^-x2,
tanh x=sinh xcosh x=e^x-e^-xe^x+e^-x
O conteúdo aqui é manipulação algébrica de expressões exponenciais para obter cada identidade.

Passo 2

Para sinh x, partimos da definição por exponenciais. Definimos
sinh x ;=;e^x-e^-x2
Não há outra transformação além de reconhecer que esta razão de exponenciais é exatamente a definição da função hiperbólica seno.

Passo 3

De modo análogo, para cosh x usamos sua definição em termos de exponenciais:
cosh x ;=;e^x+e^-x2
Aqui também a soma simétrica de e^x e e^-x sobre 2 caracteriza a função hiperbólica cosseno.

Passo 4

Para tanh x basta tomar a razão de sinh x por cosh x. Substituindo as definições:
tanh x = sinh xcosh x = e^x-e^-x2e^x+e^-x2 = e^x-e^-xe^x+e^-x
Cancelou-se o fator comum 1/2 no numerador e no denominador, chegando à forma desejada.

Resposta

sinh x=e^x-e^-x2,
cosh x=e^x+e^-x2,
tanh x=sinh xcosh x=e^x-e^-xe^x+e^-x

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