Utilizando as equações abaixo de
e
em termos de exponencias, demostre as identidades abaixo.
Passo 1
O enunciado nos lembra as definições das funções hiperbólicas em termos de exponenciais e pede para demonstrar as seguintes identidades:
O conteúdo aqui é manipulação algébrica de expressões exponenciais para obter cada identidade.
Passo 2
Para
, partimos da definição por exponenciais. Definimos
Não há outra transformação além de reconhecer que esta razão de exponenciais é exatamente a definição da função hiperbólica seno.
Passo 3
De modo análogo, para
usamos sua definição em termos de exponenciais:
Aqui também a soma simétrica de
e
sobre
caracteriza a função hiperbólica cosseno.
Passo 4
Para
basta tomar a razão de
por
. Substituindo as definições:
Cancelou-se o fator comum
no numerador e no denominador, chegando à forma desejada.