Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função hipergeométrica
é igual a
. Isso está no campo das funções especiais, especificamente envolvendo funções hipergeométricas e identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função hipergeométrica e como ela se relaciona com séries de potências e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hipergeométrica
. Ela é definida por uma série infinita:
onde
é o símbolo de Pochhammer, que representa o produto
, com
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função específica
:
Passo 4
Vamos simplificar os termos
e
. Observamos que:
Passo 5
Além disso, sabemos que
. Substituindo isso na série, temos:
Passo 6
Simplificando os termos, notamos que a série resultante é equivalente à expansão em série de Taylor para
. De fato, a série de Taylor para o cosseno é:
Comparando com nossa série hipergeométrica, vemos que elas coincidem.
Resposta
Portanto, mostramos que
.