Mostre que:
F(a2,-a2, 12 ; sin ^2 x)=cos (a x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função hipergeométrica F(a2, -a2, 12 ; sin^2 x) é igual a cos(a x) . Isso está no campo das funções especiais, especificamente envolvendo funções hipergeométricas e identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função hipergeométrica e como ela se relaciona com séries de potências e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hipergeométrica F(a, b, c; z) . Ela é definida por uma série infinita:
F(a, b, c; z) = sumn=0^infty (a)n (b)n(c)n z^nn!
onde (q)n é o símbolo de Pochhammer, que representa o produto q(q+1)(q+2)dots(q+n-1) , com (q)0 = 1 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função específica F(a2, -a2, 12; sin^2 x) :
F(a2, -a2, 12; sin^2 x) = sumn=0^infty (a2)n (-a2)n(12)n sin^2n xn!

Passo 4

Vamos simplificar os termos (a2)n e (-a2)n . Observamos que:
(a2)n (-a2)n = prodk=0^n-1 (a2 + k)(-a2 + k) = prodk=0^n-1 (k^2 - (a2)^2)

Passo 5

Além disso, sabemos que (12)n = (2n)!)4^n n! . Substituindo isso na série, temos:
F(a2, -a2, 12; sin^2 x) = sumn=0^infty (k^2 - (a2)^2) cdot sin^2n x(2n)!4^n n! cdot n!

Passo 6

Simplificando os termos, notamos que a série resultante é equivalente à expansão em série de Taylor para cos(a x) . De fato, a série de Taylor para o cosseno é:
cos(a x) = sumn=0^infty (-1)^n (a x)^2n(2n)!
Comparando com nossa série hipergeométrica, vemos que elas coincidem.

Resposta

Portanto, mostramos que F(a2, -a2, 12 ; sin ^2 x) = cos(a x) .

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