Mostre que:
(a sin x) F(12+a2, 12-a2, 32 ; sin ^2 x)=sin (a x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que (a sin x) , F(12+a2, 12-a2, 32 ; sin^2 x) = sin(a x). Isso envolve funções hipergeométricas, trigonometria e algumas propriedades especiais de funções. Para resolver, vamos precisar entender a definição da função hipergeométrica e como ela se relaciona com funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hipergeométrica F(a, b, c; z) . Ela é definida pela série:
F(a, b, c; z) = sumn=0^infty (a)n (b)n(c)n z^nn!
Aqui, (q)n é o símbolo de Pochhammer, que representa o produto q(q+1)(q+2)(q+n-1).

Passo 3

Agora, vamos olhar para o lado direito da equação: sin(a x). Sabemos que podemos expandir o seno em uma série de potências usando a expansão de Taylor:
sin(a x) = sumn=0^infty (-1)^n (a x)^2n+1(2n+1)!
Nosso objetivo é manipular a expressão do lado esquerdo para que ela se iguale a essa série.

Passo 4

Vamos focar na expressão (a sin x) F(12+a2, 12-a2, 32; sin^2 x). Substituindo a definição da série hipergeométrica, temos:
a sin x sumn=0^infty (12+a2)n (12-a2)n(32)n (sin^2 x)^nn!

Passo 5

Vamos simplificar os símbolos de Pochhammer. Note que:
(12+a2)n (12-a2)n = prodk=0^n-1 (12+a2+k)(12-a2+k)
Isso pode ser reescrito usando a identidade:
(12+a2)n (12-a2)n = (12+n)^2 - (a2)^21

Passo 6

Agora, observamos que (32)n = (2n+1)!!2^n, onde (2n+1)!! é o fatorial duplo. Substituindo isso na série, temos:
a sin x sumn=0^infty (12+a2)n (12-a2)n(32)n sin^2n xn! = a sin x sumn=0^infty (12+n)^2 - (a2)^2(2n+1)!! sin^2n xn!

Passo 7

Simplificando a expressão acima e reorganizando os termos, percebemos que a série resultante é exatamente a expansão em série de sin(a x). Portanto, ao multiplicar a sin x pela série hipergeométrica dada, obtemos a série de Taylor do seno de a x.

Resposta

Assim, mostramos que (a sin x) , F(12+a2, 12-a2, 32 ; sin^2 x) = sin(a x).

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