Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que
. Isso envolve funções hipergeométricas, trigonometria e algumas propriedades especiais de funções. Para resolver, vamos precisar entender a definição da função hipergeométrica e como ela se relaciona com funções trigonométricas como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hipergeométrica
. Ela é definida pela série:
Aqui,
é o símbolo de Pochhammer, que representa o produto
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o lado direito da equação:
. Sabemos que podemos expandir o seno em uma série de potências usando a expansão de Taylor:
Nosso objetivo é manipular a expressão do lado esquerdo para que ela se iguale a essa série.
Passo 4
Vamos focar na expressão
. Substituindo a definição da série hipergeométrica, temos:
Passo 5
Vamos simplificar os símbolos de Pochhammer. Note que:
Isso pode ser reescrito usando a identidade:
Passo 6
Agora, observamos que
, onde
é o fatorial duplo. Substituindo isso na série, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão acima e reorganizando os termos, percebemos que a série resultante é exatamente a expansão em série de
. Portanto, ao multiplicar
pela série hipergeométrica dada, obtemos a série de Taylor do seno de
.
Resposta
Assim, mostramos que
.