Mostre que:
(2 x) F(12, 1, 32 ; x^2)=log 1+x1-x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade envolvendo a função hipergeométrica
2F1l(tfrac12,1;tfrac32; x^2r)
e a função logarítmica. O conteúdo aqui é a série de potências que define a função hipergeométrica e o reconhecimento da série de Taylor de
log1+x1-x.

Passo 2

Lembrando a definição em série de
2F1(a,b;c;z) =sumn=0^infty(a)n,(b)n(c)n,n!,z^n,
temos no nosso caso
2F1l(tfrac12,1;tfrac32; x^2r) =sumn=0^inftyl(tfrac12r)n,(1)nl(tfrac32r)n,n!,x^2n
Multiplicando por 2x, obtemos
2x;2F1l(tfrac12,1;tfrac32; x^2r) =2xsumn=0^inftyl(tfrac12r)n,(1)nl(tfrac32r)n,n!,x^2n =sumn=0^infty2l(tfrac12r)nl(tfrac32r)n,x^2n+1

Passo 3

Agora usamos a simplificação do quociente de Pochhammer:
l(tfrac12r)nl(tfrac32r)n =tfrac12(tfrac12+1)cdots(tfrac12+n-1) tfrac32(tfrac32+1)cdots(tfrac32+n-1) =12n+1
Logo o termo geral vira
2l(tfrac12r)nl(tfrac32r)n,x^2n+1 =212n+1,x^2n+1

Passo 4

Portanto
2x,2F1l(tfrac12,1;tfrac32; x^2r) =sumn=0^infty2x^2n+12n+1 =2l(x+x^33+x^55+cdotsr),
que é exatamente a série de Taylor da função
log1+x1-x.

Resposta

2x;2F1l(tfrac12,1;tfrac32; x^2r) =log1+x1-x

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