Mostre que:
F(1,1,2 ;-x)=1x ln (1+x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função hipergeométrica de Gauss 2F1(1,1;2;-x) satisfaz
2F1(1,1;2;-x)=1xln(1+x)
Aqui o conteúdo é série hipergeométrica e vamos usar definição via símbolo de Pochhammer.

Passo 2

A definição da função hipergeométrica de Gauss é
2F1(a,b;c;z)=sumk=0^infty(a)k,(b)k(c)k,z^kk!,
onde (q)k=q(q+1)cdots(q+k-1) é o símbolo de Pochhammer.

Passo 3

Substituindo a=1, b=1 e c=2 temos
(1)k=k!, (2)k=(k+1)!,
então o coeficiente vira
(1)k(1)k(2)k,k!=k!,k!(k+1)!,k!=1k+1

Passo 4

Logo a série fica
2F1(1,1;2;z)=sumk=0^inftyz^kk+1
Reconhecemos que
sumk=0^inftyz^kk+1=1zsumn=1^inftyz^nn=-1zln(1-z),
que é justamente a expansão em série de -ln(1-z).

Passo 5

Bastando agora tomar z=-x obtemos
2F1(1,1;2;-x)=-1-xln(1-(-x))=1xln(1+x),
o que completa a demonstração.

Resposta

F(1,1,2;-x)=1xln(1+x)

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