Mostre que:
F(-n, b, b ;-x)=(1+x)^n

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar a identidade envolvendo a função hipergeométrica de Gauss
2F1(-n,b;b;-x)=(1+x)^n,
onde n é um inteiro não-negativo. Vamos usar a definição em série de 2F1, a propriedade do símbolo de Pochhammer e o Teorema Binomial.

Passo 2

Pela definição,
2F1(-n,b;b;-x);=;sumk=0^infty(-n)k,(b)k(b)k,(-x)^kk!
Como o fator (b)k aparece no numerador e no denominador, ele cancela, e a soma efetivamente vai até k=n porque (-n)k=0 para k>n. Logo
2F1(-n,b;b;-x) =sumk=0^n(-n)k,(-x)^kk!

Passo 3

Usamos a fórmula do símbolo de Pochhammer para inteiro negativo:
(-n)k = (-1)^kn!(n-k)!
Substituindo na soma, obtemos
sumk=0^n(-1)^k,n!(n-k)!,(-x)^kk! =sumk=0^nn!(n-k)!,k!,(-1)^k(-x)^k

Passo 4

Note que (-1)^k(-x)^k = x^k. Assim
sumk=0^nn!(n-k)!,k!,x^k =sumk=0^nbinomnkx^k
E pelo Teorema Binomial, essa soma é exatamente (1+x)^n.

Resposta

2F1(-n,b;b;-x)=(1+x)^n

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