Mostre que:
integral0^pi2 d varphiraiz1-k^2 sin ^2(varphi)=pi2 F(12, 12, 1 ; k^2)

Passo 1

Estamos trabalhando com a integral elíptica de primeira espécie
I(k)=integral0^pi2 dvarphiraiz1-k^2sin^2varphi
O objetivo é mostrar que
I(k)=pi2,Fl(tfrac12,tfrac12;1;k^2r)
Aqui vamos usar a expansão em série binomial e a fórmula de integral de potências de sin.

Passo 2

Para abrir a raiz, aplicamos a série binomial generalizada
1raiz1-x=(1-x)^-1/2=sumn=0^inftybinom2nnx^n4^n
substituindo x=k^2sin^2varphi obtemos
1raiz1-k^2sin^2varphi=sumn=0^inftybinom2nnk^2n4^nsin^2nvarphi

Passo 3

Agora trocamos soma e integral em I(k):
I(k)=sumn=0^inftybinom2nnk^2n4^nintegral0^pi2sin^2nvarphi,dvarphi
E usamos a fórmula conhecida
integral0^pi2sin^2nvarphi,dvarphi=(2n-1)!!(2n)!!,pi2=(2n)!2^2n(n!)^2,pi2

Passo 4

Substituindo na soma:
I(k)=sumn=0^inftybinom2nnk^2n4^ncdot(2n)!2^2n(n!)^2,pi2
Como binom2nn=(2n)!(n!)^2, cada termo fica
(2n)!(n!)^214^ncdot(2n)!2^2n(n!)^2=l((2n)!2^2n(n!)^2r)^2

Passo 5

Reconhecemos então a série de 2F1:
2F1l(tfrac12,tfrac12;1;k^2r)=sumn=0^infty(tfrac12)n,(tfrac12)n(1)nk^2nn!
sabendo que
(tfrac12)n=(2n)!2^2n,n!
vemos que os coeficientes coincidem com
l(tfrac12r)n^2,/,(1)n,n!=(tfrac(2n)!2^2n(n!)^2)^2

Passo 6

Com isso concluímos que
I(k)=pi2,sumn=0^infty(tfrac12)n^2(1)n,n!,k^2n=pi2,2F1l(tfrac12,tfrac12;1;k^2r)

Resposta

integral0^pi2dvarphiraiz1-k^2sin^2varphi=pi2,2F1l(tfrac12,tfrac12;1;k^2r)

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