Verifique se as séries seguintes convergem ou não:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
que é uma série de termos positivos (para
). Vamos usar o teste da razão, pois ele é eficiente em séries com fator exponencial
multiplicado por uma potência polinomial
.
Passo 2
Denotemos o termo geral por
No teste da razão, comparamos
e
:
Formamos a razão
Passo 3
Calculamos o limite dessa razão quando
:
Como
, segue que
.
Passo 4
Pelo teste da razão, se
a série converge absolutamente. Portanto, para qualquer valor real de
, temos convergência absoluta da série, pois seu fator dominante é o termo exponencial
com razão
.
Resposta
A série
converge (absolutamente) para todo
, sempre que
.