Verifique se as séries seguintes convergem ou não:
sumn=1^infty n^b a^n, 0<a<1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftyn^ba^n, 0<a<1,
que é uma série de termos positivos (para a>0). Vamos usar o teste da razão, pois ele é eficiente em séries com fator exponencial a^n multiplicado por uma potência polinomial n^b.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
un=n^ba^n
No teste da razão, comparamos un+1 e un:
un+1=(n+1)^ba^,n+1, un=n^ba^n
Formamos a razão
un+1un =(n+1)^ba^,n+1n^ba^n =a;l(n+1nr)^b

Passo 3

Calculamos o limite dessa razão quando ntoinfty:
L=limntoinftyun+1un =limntoinftya;l(1+1nr)^b =acdot1^b =a
Como 0<a<1, segue que L=a<1.

Passo 4

Pelo teste da razão, se L<1 a série converge absolutamente. Portanto, para qualquer valor real de b, temos convergência absoluta da série, pois seu fator dominante é o termo exponencial a^n com razão a<1.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^ba^n converge (absolutamente) para todo binR, sempre que 0<a<1.

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