Mostre que:
F(-n, b, b ;-x)=(1+x)^n,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa mostrar é que a função hipergeométrica F(-n, b, b ; -x) é igual a (1 + x)^n . Para isso, vamos usar conceitos de funções hipergeométricas e a expansão binomial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função hipergeométrica F(a, b, c; z) . Ela é definida por uma série infinita:
F(a, b, c; z) = sumk=0^infty (a)k (b)k(c)k z^kk!
Aqui, (q)k é o símbolo de Pochhammer, que representa o produto q(q+1)(q+2)dots(q+k-1) .

Passo 3

No nosso caso, temos a = -n , onde n é um número inteiro positivo. Quando a é um número inteiro negativo, a série hipergeométrica termina após k = n , tornando-se um polinômio. Isso porque (-n)k = 0 quando k > n .

Passo 4

Então, a função F(-n, b, b; -x) se transforma em uma soma finita:
F(-n, b, b; -x) = sumk=0^n (-n)k (b)k(b)k (-x)^kk!
Note que (b)k aparece no numerador e no denominador, então eles se cancelam:
F(-n, b, b; -x) = sumk=0^n (-n)kk! (-x)^k

Passo 5

Agora, vamos lembrar que (-n)k = (-1)^k n!(n - k)! quando k <= n . Substituindo isso na soma:
F(-n, b, b; -x) = sumk=0^n (-1)^k n!(n - k)!k! (-x)^k
Simplificando os sinais:
F(-n, b, b; -x) = sumk=0^n n!k!(n - k)! x^k

Passo 6

Observamos que n!k!(n - k)! é o coeficiente binomial binomnk . Então, a soma fica:
F(-n, b, b; -x) = sumk=0^n binomnk x^k

Passo 7

Mas a soma sumk=0^n binomnk x^k é exatamente a expansão binomial de (1 + x)^n . Portanto:
F(-n, b, b; -x) = (1 + x)^n

Resposta

Portanto, mostramos que F(-n, b, b ; -x) = (1 + x)^n .

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