Mostre que:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa mostrar é que a função hipergeométrica
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de funções hipergeométricas e a expansão binomial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função hipergeométrica
. Ela é definida por uma série infinita:
Aqui,
é o símbolo de Pochhammer, que representa o produto
.
Passo 3
No nosso caso, temos
, onde
é um número inteiro positivo. Quando
é um número inteiro negativo, a série hipergeométrica termina após
, tornando-se um polinômio. Isso porque
quando
.
Passo 4
Então, a função
se transforma em uma soma finita:
Note que
aparece no numerador e no denominador, então eles se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que
quando
. Substituindo isso na soma:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Observamos que
é o coeficiente binomial
. Então, a soma fica:
Passo 7
Mas a soma
é exatamente a expansão binomial de
. Portanto:
Resposta
Portanto, mostramos que
.