Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Esse é um caso de série alternante. Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, checar a convergência absoluta por comparação assintótica.
Passo 2
Definimos
Primeiro, verificamos
Passo 3
Agora, mostramos que
é decrescente para
. Considere a função
cuja derivada é
Para
temos
, logo
decresce em
e, em particular,
é decrescente a partir de
.
Passo 4
Como
,
e
é decrescente para
grande, o critério de Leibniz assegura que
converge.
Passo 5
Para testar convergência absoluta, consideramos
Como para
grande
e
(série harmônica) diverge, segue que
diverge por comparação assintótica. Portanto, não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).