Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty(-1)^n nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,nn^2+1
Esse é um caso de série alternante. Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, checar a convergência absoluta por comparação assintótica.

Passo 2

Definimos
an=nn^2+1
Primeiro, verificamos
limntoinftyan =limntoinftynn^2+1 =limntoinfty1n+tfrac1n =0

Passo 3

Agora, mostramos que an é decrescente para n>=2. Considere a função
f(x)=xx^2+1,
cuja derivada é
f'(x) =(x^2+1)-2x^2(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2
Para x>1 temos f'(x)<0, logo f decresce em (1,infty) e, em particular, an=!f(n) é decrescente a partir de n=2.

Passo 4

Como an>0, limntoinftyan=0 e (an) é decrescente para n grande, o critério de Leibniz assegura que
sumn=1^infty(-1)^nan
converge.

Passo 5

Para testar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^infty|(-1)^nan| =sumn=1^inftyan =sumn=1^inftynn^2+1
Como para n grande
nn^2+1sim1n,
e sum1/n (série harmônica) diverge, segue que sum an diverge por comparação assintótica. Portanto, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).

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