O enunciado pede para mostrar que . O conteúdo é a função hipergeométrica de Gauss e vamos usar sua série de potências e propriedades do símbolo de Pochhammer para resolver.
Passo 2
A função hipergeométrica de Gauss é definida pela série
sendo o símbolo de Pochhammer. No nosso caso , e .
Passo 3
Como , o termo cancela e obtemos
Substituindo , fica
Passo 4
Reescrevendo , cada termo da série vira
Para cada fixo, quando temos .
Passo 5
Para trocar limite e soma, usamos que existe um majorante independente de : como para , então
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l|(n)kk!(tfrac xn)^kr|<=|2x|^kk!,
e sum!|2x|^k/k!. Pelo Teorema da Convergência Dominada, podemos passar o limite para dentro da soma.
Passo 6
Concluímos então
limntoinftyFl(1,n,1;tfrac xnr) =sumk=0^inftylimntoinftyx^kk!prodi=0^k-1l(1+tfrac i nr) =sumk=0^inftyx^kk! =exp(x)