Mostre que:
lim n longrightarrow infty F(1, n, 1 ; xn)=exp (x),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limntoinftyFl(1,n,1;tfrac xnr)=exp(x). O conteúdo é a função hipergeométrica de Gauss e vamos usar sua série de potências e propriedades do símbolo de Pochhammer para resolver.

Passo 2

A função hipergeométrica de Gauss F(a,b,c;z) é definida pela série
F(a,b,c;z)=sumk=0^infty(a)k,(b)k(c)kz^kk!,
sendo (q)k=q(q+1)cdots(q+k-1) o símbolo de Pochhammer. No nosso caso a=1, b=n e c=1.

Passo 3

Como (1)k=k!, o termo (1)k/(c)k cancela e obtemos
Fl(1,n,1;zr)=sumk=0^infty(n)kk!,z^k
Substituindo z=tfrac xn, fica
Fl(1,n,1;tfrac xnr)=sumk=0^infty(n)kk!l(tfrac xnr)^k

Passo 4

Reescrevendo (n)k=n(n+1)cdots(n+k-1)=n^kprodi=0^k-1(1+tfrac i n), cada termo da série vira
(n)kk!l(tfrac xnr)^k=x^kk!prodi=0^k-1l(1+tfrac i nr)
Para cada k fixo, quando ntoinfty temos prodi=0^k-1(1+tfrac i n)to1.

Passo 5

Para trocar limite e soma, usamos que existe um majorante independente de n: como 1+tfrac i n<=2 para n>=1, então
l|prodi=0^k-1(1+tfrac i n)r|<=2^k,
logo
l|(n)kk!(tfrac xn)^kr|<=|2x|^kk!,
e sum!|2x|^k/k!. Pelo Teorema da Convergência Dominada, podemos passar o limite para dentro da soma.

Passo 6

Concluímos então
limntoinftyFl(1,n,1;tfrac xnr) =sumk=0^inftylimntoinftyx^kk!prodi=0^k-1l(1+tfrac i nr) =sumk=0^inftyx^kk! =exp(x)

Resposta

\exp(x)

Exercícios relacionados