Mostre que
max x, y=x+y2+|x-y|2 e min x, y=x+y2-|x-y|2
para todos x, y in R

Passo 1

O enunciado pede para provar as identidades
maxx,y = x+y2 + |x-y|2, minx,y = x+y2 - |x-y|2,
para todos x,yinR. Vamos usar a definição de valor absoluto e as expressões piecewise de max e min.

Passo 2

Lembramos que
|x-y| = x - y, & se x>= y, y - x, & se x<y,
e também
maxx,y = x, & se x>= y, y, & se x<y, minx,y = y, & se x>= y, x, & se x<y

Passo 3

Caso x>= y, temos |x-y| = x-y. Então
x+y2 + |x-y|2 = x+y2 + x-y2 = (x+y)+(x-y)2 = 2x2 = x
e
x+y2 - |x-y|2 = x+y2 - x-y2 = (x+y)-(x-y)2 = 2y2 = y
Logo, para x>= y as fórmulas dão de fato maxx,y=x e minx,y=y.

Passo 4

Caso x<y, temos |x-y| = y-x. Então
x+y2 + |x-y|2 = x+y2 + y-x2 = (x+y)+(y-x)2 = 2y2 = y
e
x+y2 - |x-y|2 = x+y2 - y-x2 = (x+y)-(y-x)2 = 2x2 = x
Assim, para x<y obtemos maxx,y=y e minx,y=x.

Passo 5

Como os casos x>= y e x<y cobrem todas as possibilidades, as fórmulas valem para todo par (x,y)inR^2.

Resposta

maxx,y = x+y2 + |x-y|2, minx,y = x+y2 - |x-y|2

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