Utilize substituição por coordenadas esféricas para calcular integralegral triplaB f(x, y, z) d V, onde
& f(x, y, z)=x^2 & raiz16-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede
integral triplaB f(x,y,z),dV,
onde vamos assumir que
f(x,y,z)=x^2,raiz16 - x^2 - y^2
e que B é o sólido sob a meia-esfera de raio 4, ou seja
B=l(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=16, z>=0r
O que vamos usar: coordenadas esféricas
l(r,theta,phir) com
x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi,
e o jacobiano
dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 2

Em B temos
0<= r<=4, 0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi2
Substituindo na integral, note que sobre a superfície z=raiz16-x^2-y^2 (a meia-esfera) vale z=rcosphi. Então dentro de B a raiz
raiz16-x^2-y^2 coincide com rcosphi. Logo
f(x,y,z);=;x^2,raiz16-x^2-y^2 ;=;(rsinphicostheta)^2,(rcosphi)
Multiplicando pelo jacobiano, o integrando vira
(rsinphicostheta)^2,(rcosphi);times;r^2sinphi ;=;r^5,sin^3!phi;cos^2!theta;cosphi

Passo 3

A integral tripla fica
integral triplaBf,dV =integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/2!integralr=0^4 r^5,sin^3!phi,cosphi;cos^2!theta ;dr,dphi,dtheta
Como tudo se separa, escrevemos
integral0^2picos^2!theta,dtheta ;times; integral0^pi/2sin^3!phi,cosphi,dphi ;times; integral0^4r^5,dr

Passo 4

Calcular a parte em theta:
integral0^2picos^2!theta,dtheta =pi,
pois cos^2theta=(1+cos2theta)/2 e o termo em cos2theta cresce nulo sobre um período.

Passo 5

Calcular a parte em phi. Faça u=sinphi, então du=cosphi,dphi e os limites vão de u(0)=0 a u(pi/2)=1:
integral0^pi/2sin^3!phi,cosphi,dphi =integral0^1u^3,du =14

Passo 6

Calcular a parte em r:
integral0^4r^5,dr =4^66 =40966 =20483

Resposta

Multiplicando tudo:
pi;times;14;times;20483 =2048pi12 =512pi3

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