Utilize substituição por coordenadas esféricas para calcular
, onde
Passo 1
O enunciado pede
onde vamos assumir que
e que
é o sólido sob a meia-esfera de raio
, ou seja
O que vamos usar: coordenadas esféricas
com
e o jacobiano
Passo 2
Em
temos
Substituindo na integral, note que sobre a superfície
(a meia-esfera) vale
. Então dentro de
a raiz
coincide com
. Logo
Multiplicando pelo jacobiano, o integrando vira
Passo 3
A integral tripla fica
Como tudo se separa, escrevemos
Passo 4
Calcular a parte em
:
pois
e o termo em
cresce nulo sobre um período.
Passo 5
Calcular a parte em
. Faça
, então
e os limites vão de
a
:
Passo 6
Calcular a parte em
:
Resposta
Multiplicando tudo: