Sejam
. Mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
, temos
O conteúdo necessário é a propriedade de que, para todo real
, vale
, com igualdade somente se
.
Passo 2
Prova da implicação “
”: suponha
. Então
mostrando que
implica
.
Passo 3
Prova da implicação “
”: suponha
Como para todo real
temos
, a soma de dois termos não-negativos só pode ser zero se cada termo for zero. Logo
Passo 4
De
segue que
(pois a única raiz real de
é
), e de
segue
. Assim, provamos que
implica
.
Resposta
Ficou demonstrado que