Sejam a, b in R. Mostre que a^2+b^2=0 se, e somente se, a=b=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,binR, temos
a^2+b^2=0 Long<=ftrightarrow a=0 e b=0
O conteúdo necessário é a propriedade de que, para todo real x, vale x^2>=0, com igualdade somente se x=0.

Passo 2

Prova da implicação “ Longrightarrow”: suponha a=b=0. Então
a^2+b^2 =0^2+0^2 =0+0 =0,
mostrando que a=b=0 implica a^2+b^2=0.

Passo 3

Prova da implicação “ Long<=ftarrow”: suponha
a^2+b^2=0
Como para todo real x temos x^2>=0, a soma de dois termos não-negativos só pode ser zero se cada termo for zero. Logo
a^2=0 e b^2=0

Passo 4

De a^2=0 segue que a=0 (pois a única raiz real de x^2=0 é x=0), e de b^2=0 segue b=0. Assim, provamos que a^2+b^2=0 implica a=b=0.

Resposta

Ficou demonstrado que
a^2+b^2=0 Long<=ftrightarrow a=0 e b=0

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