Mostre que 1-i raiz2raiz2+i=-i.

Passo 1

O objetivo é mostrar que 1 - iraiz2raiz2 + i = -i. Vamos usar operações com números complexos, em especial multiplicar por conjugado para eliminar o i do denominador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por raiz2 - i, que é o conjugado de raiz2 + i:
1 - iraiz2raiz2 + i = (1 - iraiz2)(raiz2 - i)(raiz2 + i)(raiz2 - i)

Passo 3

Calculamos o denominador:
(raiz2 + i)(raiz2 - i) = (raiz2)^2 - (i)^2 = 2 - (-1) = 3

Passo 4

Agora expandimos o numerador:
(1 - iraiz2)(raiz2 - i) = 1cdotraiz2 - 1cdot i - iraiz2cdotraiz2 + iraiz2cdot i
Analisando cada termo:
  • 1cdotraiz2 = raiz2.
  • -1cdot i = -i.
  • - iraiz2cdotraiz2 = -2i.
  • iraiz2cdot i = i^2raiz2 = -raiz2.
Somando:
raiz2 - raiz2 - i - 2i = -3i

Passo 5

Portanto,
1 - iraiz2raiz2 + i = -3i3 = -i

Resposta

-i

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