Questão 7. Em cada caso a seguir, usando o critério adequado, estude quanto à convergência.
sumn=1^infty fracoperatornamesen^4(n)n^7

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty sin^4(n)n^7
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em especial o critério de comparação (ou comparação direta) com séries p.

Passo 2

Observamos que, para todo n,
0 <= sin^4(n) <= 1,
pois |sin(n)|<=1. Assim
0 <= sin^4(n)n^7 <= 1n^7

Passo 3

A série
sumn=1^infty 1n^7
é uma série p com p=7>1, logo ela converge. Pelo critério da comparação direta, como 0 <= sin^4(n)n^7 <= 1n^7 e sum 1/n^7 converge, concluímos que
sumn=1^infty sin^4(n)n^7
converge também.

Resposta

A série converge (na verdade converge absolutamente, por comparação com a série p de parâmetro p=7>1).

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