Mostre que
cosh (k t)=ss^2-a^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace da função
f(t)=cosh(at)
é
Lf(t)(s)=ss^2-a^2
O que vamos usar é a definição da transformada de Laplace
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-st,f(t),dt
e a identidade hiperbolica
cosh(at)=e^at+e^-at2

Passo 2

Substituímos cosh(at) na integral da transformada:
Lcosh(at)(s) =integral0^inftye^-st,e^at+e^-at2,dt =12integral0^inftyl(e^-(s-a)t+e^-(s+a)tr),dt

Passo 3

Separamos em duas integrais conhecidas, lembrando que convergem para Re(s)>|a|:
12integral0^inftye^-(s-a)t,dt =12,1s-a, 12integral0^inftye^-(s+a)t,dt =12,1s+a

Passo 4

Somando as duas parcelas temos
Lcosh(at)(s) =12l(1s-a+1s+ar) =12,(s+a)+(s-a)(s-a)(s+a) =2s2,(s^2-a^2) =ss^2-a^2

Resposta

Lcosh(at)(s)=ss^2-a^2, Re(s)>|a|

Exercícios relacionados