Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
ab<0, então a>0, b<0 ou a<0, b>0.

Passo 1

Beleza, nosso objetivo é mostrar, num corpo ordenado (com axiomas O1, O2, O3 e as leis de corpo), que
ab<0 Longrightarrow l(a>0,;b<0r);ou;l(a<0,;b>0r)

Passo 2

Como estamos considerando tfracab, vale bneq0. Então, pelo axioma O1 (ou um número é positivo, ou é zero, ou é negativo), temos
b>0 ou b<0

Passo 3

Antes de tudo, note que
ab;=;a,b^-1,
logo, usando associatividade, inverso multiplicativo e elemento neutro,
ab,b ;=; a,b^-1b ;=; a,(b^-1b) ;=; acdot1 ;=; a

Passo 4

Caso b>0: pelo axioma O3, multiplicar uma desigualdade por número positivo preserva o sentido. Logo, de
ab<0
multiplicamos ambos os lados por b>0 e obtemos
ab,b ;<; 0cdot b Longrightarrow a<0
Assim, nesse caso a<0 e b>0.

Passo 5

Caso b<0: pelo axioma O3, multiplicar por número negativo inverte o sentido da desigualdade. Então, de
ab<0
multiplicamos ambos os lados por b<0 e vem
ab,b ;>; 0cdot b Longrightarrow a>0
Logo, aqui a>0 e b<0.

Resposta

Concluímos que
ab<0 Longrightarrow l(a>0,;b<0r) ou l(a<0,;b>0r)

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