Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
, então
ou
.
Passo 1
Beleza, nosso objetivo é mostrar, num corpo ordenado (com axiomas O1, O2, O3 e as leis de corpo), que
Passo 2
Como estamos considerando
, vale
. Então, pelo axioma O1 (ou um número é positivo, ou é zero, ou é negativo), temos
Passo 3
Antes de tudo, note que
logo, usando associatividade, inverso multiplicativo e elemento neutro,
Passo 4
Caso
: pelo axioma O3, multiplicar uma desigualdade por número positivo preserva o sentido. Logo, de
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Assim, nesse caso
e
.
Passo 5
Caso
: pelo axioma O3, multiplicar por número negativo inverte o sentido da desigualdade. Então, de
multiplicamos ambos os lados por
e vem
Logo, aqui
e
.
Resposta
Concluímos que