Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se a, b >= 0 e a^2<b^2, então a<b.

Passo 1

Resumindo, em um corpo ordenado temos a,b>=0 e a hipótese ,a^2<b^2. O conteúdo aqui é manipular desigualdades usando as propriedades de ordem O1 (tricotomia e transitividade), O2 (adição preserva desigualdade) e O3 (multiplicação por positivo preserva desigualdade), além das propriedades de corpo (existência de inversos e distributividade).

Passo 2

Começamos subtraindo a^2 de ambos os lados de ,a^2<b^2. Pela propriedade O2 (se x<y então x+z<y+z), com x=a^2, y=b^2 e z=-a^2, obtemos
0 < b^2 - a^2

Passo 3

Aplicamos a fatoração da diferença de quadrados, que decorre da distributividade:
b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)
Logo,
0 < (b-a)(b+a)

Passo 4

Como a>=0 e b>=0, a soma b+a também é não negativa. Pela O2 (adição de inequações),
0 <= a + b

Passo 5

Não pode ser b+a=0, pois isso forçaria a=b=0 e implicaria a^2=b^2, contradizendo a^2<b^2. Portanto
b+a > 0

Passo 6

Agora temos duas desigualdades:
0 < (b-a)(b+a) e b+a > 0
Como b+a>0, pelo axioma O3 (multiplicação de inequações por número positivo), podemos “dividir” (ou multiplicar pelo inverso de b+a) e manter o sentido da desigualdade:
0 < b - a

Passo 7

Finalmente, somando a a ambos os lados da desigualdade 0< b-a (novamente O2), obtemos
a < b

Resposta

a<b.

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