Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Resumindo, em um corpo ordenado temos
e a hipótese
. O conteúdo aqui é manipular desigualdades usando as propriedades de ordem O1 (tricotomia e transitividade), O2 (adição preserva desigualdade) e O3 (multiplicação por positivo preserva desigualdade), além das propriedades de corpo (existência de inversos e distributividade).
Passo 2
Começamos subtraindo
de ambos os lados de
. Pela propriedade O2 (se
então
), com
,
e
, obtemos
Passo 3
Aplicamos a fatoração da diferença de quadrados, que decorre da distributividade:
Logo,
Passo 4
Como
e
, a soma
também é não negativa. Pela O2 (adição de inequações),
Passo 5
Não pode ser
, pois isso forçaria
e implicaria
, contradizendo
. Portanto
Passo 6
Agora temos duas desigualdades:
Como
, pelo axioma O3 (multiplicação de inequações por número positivo), podemos “dividir” (ou multiplicar pelo inverso de
) e manter o sentido da desigualdade:
Passo 7
Finalmente, somando
a ambos os lados da desigualdade
(novamente O2), obtemos