Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se 0<a<b, então 1a>1b.

Passo 1

Estamos em um corpo ordenado K com as propriedades da ordem:
O1 (tricotomia e transitividade),
O2 (monotonia da soma) e
O3 (monotonia do produto de positivos).
Queremos provar que, se
0 < a < b,
então
1a > 1b
Usaremos também os axiomas de corpo: existência de inverso multiplicativo ( aneq0implies acdot a^-1=1) e 1neq0.

Passo 2

Provar que 1>0.
Como 1neq0, pela tricotomia (O1) ou 1>0 ou 1<0.
Se já 1>0, terminamos.
Se 1<0, então — somando -1 em ambos os lados e usando O2 —
1<0implies 1+(-1)<0+(-1)implies 0< -1
Agora -1>0, e aplicando O3 a (-1)cdot(-1) (produto de dois positivos) vem
(-1)cdot(-1)>0Longrightarrow 1>0
Logo em todo caso 1>0.

Passo 3

Provar que todo inverso de elemento positivo é positivo:
seja c>0.
(1) Se c^-1=0, então multiplicando por c vem
ccdot c^-1=ccdot 0implies 1=0,
contradição com 1neq0.
(2) Se c^-1<0, então multiplicando por c>0 (pela O3) dá
c^-1<0implies ccdot c^-1<ccdot 0implies 1<0,
o que contradiz 1>0 já provado.
Portanto c^-1 não é zero nem negativo, logo
c>0Longrightarrow c^-1>0

Passo 4

Da hipótese 0<a<b, como a>0 o inverso a^-1 é positivo (Passo 3).
Multiplicando a<b por a^-1>0 (O3) segue
acdot a^-1<bcdot a^-1 Longrightarrow 1<ba

Passo 5

Como b>0, também b^-1>0 (Passo 3).
Multiplicando 1<tfracba por b^-1>0 (O3) obtemos
1cdot b^-1<bacdot b^-1 Longrightarrow 1b<1a,
ou seja,
1a>1b

Resposta

1a>1b

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