Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
, então
.
Se
Passo 1
Estamos em um corpo ordenado
com as propriedades da ordem:
O1 (tricotomia e transitividade),
O2 (monotonia da soma) e
O3 (monotonia do produto de positivos).
Queremos provar que, se
O1 (tricotomia e transitividade),
O2 (monotonia da soma) e
O3 (monotonia do produto de positivos).
Queremos provar que, se
então
Usaremos também os axiomas de corpo: existência de inverso multiplicativo (
) e
.
Passo 2
Provar que
.
Como , pela tricotomia (O1) ou
ou
.
Se já , terminamos.
Se , então — somando
em ambos os lados e usando O2 —
Como
Se já
Se
Agora
, e aplicando O3 a
(produto de dois positivos) vem
Logo em todo caso
.
Passo 3
Provar que todo inverso de elemento positivo é positivo:
seja .
(1) Se , então multiplicando por
vem
seja
(1) Se
contradição com
.
(2) Se , então multiplicando por
(pela O3) dá
(2) Se
o que contradiz
já provado.
Portanto não é zero nem negativo, logo
Portanto
Passo 4
Da hipótese
, como
o inverso
é positivo (Passo 3).
Multiplicando por
(O3) segue
Multiplicando
Passo 5
Como
, também
(Passo 3).
Multiplicando por
(O3) obtemos
Multiplicando
ou seja,