Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
, então
ou
.
Passo 1
Resumo do enunciado: estamos num corpo ordenado, e sabemos que
Como
(pois
está definido), podemos usar a definição de divisão em corpos:
Defina
Logo
e ainda vale
Passo 2
Pela propriedade O3 (tricotomia) aplicada a
, exatamente uma das duas ocorre:
-
, -
.
Passo 3
Caso
: como
e
, pela propriedade O2 (produto de positivos é positivo) segue
Mas
, logo
Passo 4
Concluímos no caso 1 que
Passo 5
Caso
: como
e
, pela propriedade O2 obtemos
Isto é
Além disso
equivale a
.
Passo 6
Concluímos no caso 2 que
Resposta
Se
, então ou
ou
.