Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
ab>0, então a, b>0 ou a, b<0.

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos num corpo ordenado, e sabemos que
ab>0
Como bneq0 (pois tfracab está definido), podemos usar a definição de divisão em corpos:
ab=acdot b^-1
Defina
c := acdot b^-1
Logo ,c>0 e ainda vale
a = ccdot b

Passo 2

Pela propriedade O3 (tricotomia) aplicada a bneq0, exatamente uma das duas ocorre:
  1. b>0,
  2. -b>0.

Passo 3

Caso b>0: como c>0 e b>0, pela propriedade O2 (produto de positivos é positivo) segue
ccdot b>0
Mas ccdot b=a, logo
a>0

Passo 4

Concluímos no caso 1 que
a>0e b>0

Passo 5

Caso -b>0: como c>0 e -b>0, pela propriedade O2 obtemos
ccdot(-b)>0
Isto é
-(ccdot b)>0;Longrightarrow;-(a)>0;Longrightarrow;a<0
Além disso -b>0 equivale a b<0.

Passo 6

Concluímos no caso 2 que
a<0e b<0

Resposta

Se tfracab>0, então ou (a>0 e b>0) ou (a<0 e b<0).

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