Mostre que .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano das funções y1(t)=e^lambda tcos(mu t) e y2(t)=e^lambda tsin(mu t). O conteúdo principal é a definição de Wronskiano e o uso de derivadas de produto. Para resolver, vamos usar que o Wronskiano de duas funções y1 e y2 é dado por
W(y1,y2)=y1,y2'-y2,y1'

Passo 2

Agora precisamos das derivadas de y1 e y2. Usando a regra do produto e a derivada de seno e cosseno, obtemos:
y1'=ddtl(e^lambda tcos(mu t)r)=lambda e^lambda tcos(mu t)-mu e^lambda tsin(mu t),
y2'=ddtl(e^lambda tsin(mu t)r)=lambda e^lambda tsin(mu t)+mu e^lambda tcos(mu t)

Passo 3

Substituindo na definição do Wronskiano, temos:
W(y1,y2)=e^lambda tcos(mu t)l(lambda e^lambda tsin(mu t)+mu e^lambda tcos(mu t)r) -e^lambda tsin(mu t)l(lambda e^lambda tcos(mu t)-mu e^lambda tsin(mu t)r)

Passo 4

Agora é só simplificar. Fatorando e^2lambda t e reagru­pando termos:
W(y1,y2)=e^2lambda tl(lambdacosmu tsinmu t+mucos^2mu t-lambdasinmu tcosmu t+musin^2mu tr) Simplificando dentro do parênteses, os termos com lambda se cancelam e cos^2mu t+sin^2mu t=1. Restando apenas mu.

Passo 5

Portanto o Wronskiano é exatamente mu e^2lambda t, como queríamos mostrar.

Resposta

mu e^2lambda t

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