Mostre que 1+i^{5}+2 i^{10}+3 i^{15}=-1-2 i.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma dos termos envolvendo potências de i é igual a -1-2i. O conteúdo aqui é a periodicidade das potências da unidade imaginária, pois sabemos que \;i^0=1,\;i^1=i,\;i^2=-1,\;i^3=-i e a partir de i^4 o ciclo se repete: i^{n+4}=i^n.

Passo 2

Vamos usar a periodicidade com período 4 para calcular cada potência:
- i^5 = i^{4+1} = i^4\cdot i = 1\cdot i = i.
- i^{10} = i^{8+2} = (i^4)^2\cdot i^2 = 1\cdot(-1) = -1.
- i^{15} = i^{12+3} = (i^4)^3\cdot i^3 = 1\cdot(-i) = -i.

Passo 3

Substituindo esses valores na expressão original
1 + i^5 + 2\,i^{10} + 3\,i^{15}
ficamos com
1 + i + 2\cdot(-1) + 3\cdot(-i).
Agora agrupamos parte real e parte imaginária:
- Parte real: 1 + 2\cdot(-1) = 1-2 = -1.
- Parte imaginária: i + 3\cdot(-i) = i -3i = -2i.

Passo 4

Somando as duas partes obtemos
-1 + (-2i) = -1 - 2i.

Resposta

-1-2i

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