Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a soma dos termos envolvendo potências de
é igual a
. O conteúdo aqui é a periodicidade das potências da unidade imaginária, pois sabemos que
e a partir de
o ciclo se repete:
.
Passo 2
Vamos usar a periodicidade com período 4 para calcular cada potência:
- .
- .
- .
-
-
-
Passo 3
Substituindo esses valores na expressão original
ficamos com
Agora agrupamos parte real e parte imaginária:
- Parte real: .
- Parte imaginária: .
- Parte real:
- Parte imaginária:
Passo 4
Somando as duas partes obtemos