Se \operatorname{sen} \alpha \neq 0, mostre que, para todo n \in \mathbb{N}, vale a igualdade:
\cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha \cdot \cos 2^{2} \alpha \cdots \cos 2^{n} \alpha=\frac{\operatorname{sen} 2^{n+1} \alpha}{2^{n+1} \operatorname{sen} \alpha}
Sugestão: Use a fórmula \operatorname{sen} 2 \beta=2 \operatorname{sen} \beta \cos \beta.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo n\in\mathbb{N} e supondo \sin\alpha\neq0, vale a igualdade
\cos\alpha\;\cos2\alpha\;\cos2^{2}\alpha\;\cdots\;\cos2^{n}\alpha = \frac{\sin2^{\,n+1}\alpha}{2^{\,n+1}\,\sin\alpha}.
O conteúdo principal é usar a identidade trigonométrica de duplicação
\sin2\beta = 2\,\sin\beta\,\cos\beta.

Passo 2

Da identidade \sin2\beta=2\sin\beta\cos\beta isolamos \cos\beta:
\cos\beta = \frac{\sin2\beta}{2\,\sin\beta}.
Aplicando essa expressão com \beta=2^{k}\alpha, obtemos
\cos\bigl(2^{k}\alpha\bigr) = \frac{\sin\bigl(2^{k+1}\alpha\bigr)}{2\,\sin\bigl(2^{k}\alpha\bigr)}.

Passo 3

Multiplicamos essa forma para k=0,1,2,\dots,n:
\prod_{k=0}^{n}\cos\bigl(2^{k}\alpha\bigr) = \prod_{k=0}^{n} \frac{\sin\bigl(2^{k+1}\alpha\bigr)}{2\,\sin\bigl(2^{k}\alpha\bigr)}.

Passo 4

No lado direito extraímos o fator comum 2^{\,n+1} do denominador:
\prod_{k=0}^{n} \frac{\sin(2^{k+1}\alpha)}{2\,\sin(2^{k}\alpha)} = \frac{1}{2^{\,n+1}} \;\frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\sin\bigl(2^{k+1}\alpha\bigr)} {\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\sin\bigl(2^{k}\alpha\bigr)}.
Observe que no numerador aparecem os termos \sin(2\alpha),\sin(2^{2}\alpha),\dots,\sin(2^{n+1}\alpha) e no denominador \sin(\alpha),\sin(2\alpha),\dots,\sin(2^{n}\alpha).
Cancelam-se todos os fatores comuns, restando
\prod_{k=0}^{n}\cos\bigl(2^{k}\alpha\bigr) = \frac{1}{2^{\,n+1}} \;\frac{\sin\bigl(2^{n+1}\alpha\bigr)}{\sin(\alpha)}.

Resposta

\cos\alpha\;\cos2\alpha\;\cos2^{2}\alpha\;\cdots\;\cos2^{n}\alpha = \frac{\sin2^{\,n+1}\alpha}{2^{\,n+1}\,\sin\alpha}.

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