Mostre que:
\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2} \cdots\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}=\frac{n^{n-1}}{(n-1)!},

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}\cdots\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1} =\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}.
O conteúdo principal é manipulação de produtos e uso de fatoração para telescopar fatores. Vamos reescrever cada termo e depois agrupar o produto completo.

Passo 2

Reescrevemos o k-ésimo fator, para k=1,2,\dots,n-1:
\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k} =\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k} =\frac{(k+1)^{k}}{k^{k}}.

Passo 3

Assim o produto total vira
\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k} =\prod_{k=1}^{n-1}\frac{(k+1)^{k}}{k^{k}} =\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(k+1)^{k}}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}k^{k}}.
No numerador fazemos a mudança de índice j=k+1, que vai de j=2 até j=n:
\prod_{k=1}^{n-1}(k+1)^{k} =\prod_{j=2}^{n}j^{\,j-1}.
No denominador mantemos j=k, de 1 até n-1:
\prod_{k=1}^{n-1}k^{k} =\prod_{j=1}^{n-1}j^{\,j}.

Passo 4

Portanto
\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k} =\frac{\displaystyle\prod_{j=2}^{n}j^{\,j-1}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{n-1}j^{\,j}} =\frac{n^{\,n-1}\,\prod_{j=2}^{n-1}j^{\,j-1}}{1^{1}\,\prod_{j=2}^{n-1}j^{\,j}}.
Para cada j=2,\dots,n-1 há no numerador j^{\,j-1} e no denominador j^{\,j}, logo cada par cancela em j^{-1}. Assim resta
\frac{n^{\,n-1}}{1\;\times\;\prod_{j=2}^{n-1}j} =\frac{n^{\,n-1}}{(n-1)!}.

Resposta

\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}\cdots\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1} =\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}.

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