Mostre que R^3=[(1,0,0)] oplus[(1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1)].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
R^3 é a soma direta dos subespaços
U = l[(1,0,0)r] e V = l[(1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1)r]
Ou seja, precisamos provar que
  1. Ucap V=0 e
  2. U+V=R^3.

Passo 2

Primeiro notamos que os vetores que geram V são linearmente dependentes, porque
(1,0,-1) ;=;(1,1,0);-;(0,1,1)
Logo
V=l[(1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1)r] =l[(1,1,0),(0,1,1)r],
que é um plano de dimensão 2 em R^3.

Passo 3

Agora mostramos que Ucap V=0. Seja
u=(a,0,0)in Ucap V
Como uin V, existem m,n tais que
(a,0,0)=m,(1,1,0)+n,(0,1,1)=(m,m+n,n)
Comparando componentes:
m=a, m+n=0, n=0
Da última equação vem n=0, daí m=0 e então a=0.
Logo u=(0,0,0) e Ucap V=0.

Passo 4

Para ver que U+V=R^3, tomemos um vetor arbitrário (x,y,z)inR^3. Queremos escrevê-lo como
(x,y,z)=(a,0,0)+v, (a,0,0)in U,; vin V
Como V=(m,m+n,n)mid m,ninR, basta resolver
(a+m,;m+n,;n)=(x,y,z)
Das duas últimas componentes obtemos n=z e m=y-z. Então
a = x - m = x - (y-z)
Isso dá sempre solução para qualquer (x,y,z). Portanto todo vetor de R^3 está em U+V, ou seja U+V=R^3.

Passo 5

Como dim U=1, dim V=2, dim(Ucap V)=0 e U+V=R^3, concluímos que
R^3 = U oplus V

Resposta

R^3 = [(1,0,0)] oplus [(1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1)].

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