Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é a soma direta dos subespaços
Ou seja, precisamos provar que
-
e -
.
Passo 2
Primeiro notamos que os vetores que geram
são linearmente dependentes, porque
Logo
que é um plano de dimensão 2 em
.
Passo 3
Agora mostramos que
. Seja
Como
, existem
tais que
Comparando componentes:
Da última equação vem
, daí
e então
.
Logo e
.
Logo
Passo 4
Para ver que
, tomemos um vetor arbitrário
. Queremos escrevê-lo como
Como
, basta resolver
Das duas últimas componentes obtemos
e
. Então
Isso dá sempre solução para qualquer
. Portanto todo vetor de
está em
, ou seja
.
Passo 5
Como
,
,
e
, concluímos que