Se A=[cccos theta & -sen theta sen theta & cos theta]. Mostre que A^2=[cccos 2 theta & -sen 2 theta sen 2 theta & cos 2 theta].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de rotação de ângulo theta
A = costheta & -sentheta sentheta & costheta
e pede para mostrar que
A^2 = cos2theta & -sen2theta sen2theta & cos2theta
Para isso, vamos usar a definição de produto de matrizes 2times2 e as identidades trigonométricas de ângulo duplo:
cos2theta = cos^2theta - sen^2theta, sen2theta = 2,sinthetacostheta

Passo 2

Chamando
A = a & b c & d com a=costheta,;b=-sentheta,; c=sentheta,;d=costheta,
o produto A^2 = Acdot A tem entradas
A11 = a,a + b,c, A12 = a,b + b,d, A21 = c,a + d,c, A22 = c,b + d,d

Passo 3

Calculamos
A11 = costhetacdotcostheta + (-sentheta)cdotsentheta = cos^2theta - sen^2theta = cos2theta

Passo 4

Calculamos
A12 = costhetacdot(-sentheta) + (-sentheta)cdotcostheta = -2,senthetacostheta = -sen2theta

Passo 5

Calculamos
A21 = senthetacdotcostheta + costhetacdotsentheta = 2,senthetacostheta = sen2theta

Passo 6

Calculamos
A22 = senthetacdot(-sentheta) + costhetacdotcostheta = -sen^2theta + cos^2theta = cos2theta

Resposta

A^2 = cos2theta & -sen2theta sen2theta & cos2theta

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