Seja B uma matriz 3 times 3 dada por
B=[lll 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 5 & 6 & 0 ]
Verifique se B é invertível. Em caso afirmativo, encontre a matriz inversa de B.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
B = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 5 & 6 & 0
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar B^-1.
Conteúdo: determinante e adjunta (cofatores) de uma matriz 3times3.

Passo 2

Calcular det(B) por expansão na primeira linha:
det(B) =1cdotdet1&46&0 -2cdotdet0&45&0 +3cdotdet0&15&6
Agora cada menor:
det1&46&0 =1cdot0-4cdot6=-24,
det0&45&0 =0cdot0-4cdot5=-20,
det0&15&6 =0cdot6-1cdot5=-5
Logo
det(B) =1cdot(-24)-2cdot(-20)+3cdot(-5) =-24+40-15=1
Como det(B)=1neq0, a matriz B é invertível.

Passo 3

Vamos usar o método dos cofatores. Computamos o cofactor Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o menor correspondente.
Os cofatores são:
C11=-24, C12=20, C13=-5,
C21=18, C22=-15, C23=4,
C31=5, C32=-4, C33=1
Logo a matriz dos cofatores é
Cof(B) = -24 & 20 & -5 18 & -15& 4 5 & -4 & 1

Passo 4

A adjunta de B é a transposta da matriz de cofatores:
adj(B) =l(Cof(B)r)^T = -24 & 18 & 5 20 & -15& -4 -5 & 4 & 1

Passo 5

Como det(B)=1, a inversa é
B^-1 =1det(B),adj(B) =adj(B)

Resposta

A matriz B é invertível e
B^-1 = -24 & 18 & 5 20 & -15& -4 -5 & 4 & 1

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