Mostre que a matriz B=[lla & b c & d] e invertível se, e somente se a d-b c neq 0 e neste caso a inversa é dada por
B^-1=1a d-b c[rr d & -b -a & c ]
(Sugestão: encontre a forma escalonada reduzida da matriz [A mid I2] para a neq 0 e para a=0.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
B=a & b[6pt]c & d
é invertível se, e somente se, o determinante
det B = ad - bc
for diferente de zero, e que, nesse caso,
B^-1=1ad - bcd & -b[3pt]-c & a
Para isso vamos usar o método de Gauss–Jordan sobre o bloco aumentado [Bmid I2] .]

Passo 2

Suponha ad - bc neq 0 e aneq 0. Começamos com
[Bmid I2] =[cc|cc a & b & 1 & 0 [3pt] c & d & 0 & 1 ]
Dividindo a primeira linha por a obtemos
[cc|cc 1 & tfracba & tfrac1a & 0 [3pt] c & d & 0 & 1 ]
Em seguida subtraímos c vezes a nova R 1 de R 2:
[cc|cc 1 & tfracba & tfrac1a & 0 [3pt] 0 & d - tfracbca & -tfracca & 1 ]
O pivô em R 2 é tfracad - bca. Multiplicamos R 2 por tfracaad - bc para torná-lo 1:
[cc|cc 1 & tfracba & tfrac1a & 0 [3pt] 0 & 1 & -tfraccad - bc & tfracaad - bc ]
Por fim zeramos a entrada acima do pivô em R 2 subtraindo de R 1 tfracba vezes R 2, o que dá
[cc|cc 1 & 0 & tfracdad - bc & -tfracbad - bc [3pt] 0 & 1 & -tfraccad - bc & tfracaad - bc ]
Dessa forma a parte direita do bloco é exatamente
B^-1 =1ad - bcd & -b[3pt]-c & a
]

Passo 3

Se a=0 mas ad - bcneq 0, então bcneq0 e em particular bneq0 e cneq0. Começamos com
[Bmid I2] =[cc|cc 0 & b & 1 & 0 [3pt] c & d & 0 & 1 ]
Basta trocar R 1 e R 2 para ter pivô não nulo na posição ( 1,1), e em seguida repetir exatamente o mesmo processo de Gauss–Jordan do passo anterior. O cálculo leva à mesma expressão para B^-1.
]

Passo 4

Se ad - bc=0, então as colunas de B são linearmente dependentes (por exemplo a/c=b/d sempre que definidos), e ao escalonar [Bmid I2] aparece uma linha nula na parte esquerda, de modo que não se obtém a identidade. Logo B não é invertível.

Passo 5

Reunindo tudo, concluímos que B é invertível se, e somente se,
ad - bc neq 0,
e nesse caso sua inversa é
B^-1 = 1ad - bc d & -b[3pt] -c & a
]

Resposta

B é invertível sse ad - bc neq 0 e, quando isso ocorre,
B^-1 = 1ad - bc d & -b[3pt] -c & a
]

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