Dados alpha=(lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1), beta=(lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3) e gamma=(lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2), mostre que:
(alpha gamma)^2=alpha^2 gamma^2

Passo 1

O enunciado fornece as permutações
alpha=1&2&32&3&1, beta=1&2&32&1&3, gamma=1&2&33&1&2
no grupo simétrico S3. Queremos verificar a igualdade
(alphagamma)^2 ;=;alpha^2,gamma^2
O conteúdo usado será notação de ciclos e propriedades de potências de ciclos em S3.

Passo 2

Vamos reescrever alpha e gamma em notação de ciclo. Observamos que
alpha=(1,2,3) e gamma=(1,3,2)
Em S3, o inverso de (1,2,3) é (1,3,2), logo
gamma = alpha^-1 = alpha^2

Passo 3

Calcular alphagamma aproveitando gamma=alpha^2:
alphagamma = alpha;alpha^2 = alpha^3

Passo 4

Como alpha é um 3-ciclo, sabe-se que alpha^3=e (a identidade). Portanto
alphagamma = e

Passo 5

Então
(alphagamma)^2 = e^2 = e

Passo 6

Agora calculamos alpha^2,gamma^2. Como gamma=alpha^2, temos
gamma^2 = (alpha^2)^2 = alpha^4,
então
alpha^2,gamma^2 = alpha^2,alpha^4 = alpha^6
Mas alpha^3=e implica alpha^6=(alpha^3)^2=e^2=e.

Resposta

Ambos os lados são a identidade e, logo
(alphagamma)^2 ;=; e ;=; alpha^2,gamma^2

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