e
gamma=(lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2) , mostre que:
(alpha gamma)^2=alpha^2 gamma^2
Passo 1
O enunciado fornece as permutações
no grupo simétrico
S3 . Queremos verificar a igualdade
O conteúdo usado será notação de ciclos e propriedades de potências de ciclos em
S3 .
Passo 2
Vamos reescrever
alpha e
gamma em notação de ciclo. Observamos que
Em
S3 , o inverso de
(1,2,3) é
(1,3,2) , logo
Passo 3
Calcular
alphagamma aproveitando
gamma=alpha^2 :
Passo 4
Como
alpha é um 3-ciclo, sabe-se que
alpha^3=e (a identidade). Portanto
Passo 5
Então
Passo 6
Agora calculamos
alpha^2,gamma^2 . Como
gamma=alpha^2 , temos
então
Mas
alpha^3=e implica
alpha^6=(alpha^3)^2=e^2=e .
Resposta
Ambos os lados são a identidade
e , logo