Dados alpha=(lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1), beta=(lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3) e gamma=(lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2), mostre que:
(alpha gamma)^-1=alpha^-1 gamma^-1

Passo 1

O enunciado dá três permutações em S3 escritas em notação de duas linhas:
alpha=1 & 2 & 32 & 3 & 1, beta=1 & 2 & 32 & 1 & 3, gamma=1 & 2 & 33 & 1 & 2,
e pede para mostrar que
(alpha,gamma)^-1=alpha^-1,gamma^-1
Estamos em um grupo (o grupo simétrico), onde sabemos que inverso de produto satisfaz (sigmatau)^-1=tau^-1sigma^-1. Aqui, porém, é mais fácil verificar diretamente para estas permutações.

Passo 2

Vamos reescrever alpha e gamma em notação cíclica, para ver sua ação de modo compacto:
alpha envia 1to2, 2to3, 3to1, logo
alpha=(1,2,3)
gamma envia 1to3, 3to2, 2to1, logo
gamma=(1,3,2)

Passo 3

Calculemos o produto alphagamma. Lembrando que alphagamma significa “faça gamma e depois alpha”:
  • Para x=1: gamma(1)=3 e depois alpha(3)=1, logo (alphagamma)(1)=1.
  • Para x=2: gamma(2)=1 e alpha(1)=2, logo (alphagamma)(2)=2.
  • Para x=3: gamma(3)=2 e alpha(2)=3, logo (alphagamma)(3)=3.
    Portanto
alphagamma = id,
a permutação identidade.

Passo 4

Como alphagamma=id, seu inverso é ele mesmo:
(alphagamma)^-1 = id^-1 = id

Passo 5

Agora achamos alpha^-1 e gamma^-1. Em notação cíclica, o inverso de um ciclo é o ciclo na ordem inversa de leitura:
alpha=(1,2,3)Longrightarrowalpha^-1=(1,3,2),
gamma=(1,3,2)Longrightarrowgamma^-1=(1,2,3)

Passo 6

Multiplicando alpha^-1gamma^-1, isto é, primeiro gamma^-1 depois alpha^-1:
gamma^-1=(1,2,3) e alpha^-1=(1,3,2). Mas notamos que
gamma^-1=(1,2,3)=alpha, alpha^-1=(1,3,2)=gamma
Logo
alpha^-1,gamma^-1 ;=;(1,3,2),(1,2,3);=;gamma,alpha
Mas como alphagamma=id, temos também gammaalpha=id. Então
alpha^-1,gamma^-1=id

Passo 7

Concluímos que
(alphagamma)^-1=id e alpha^-1,gamma^-1=id,
portanto são iguais, ou seja
(alphagamma)^-1=alpha^-1,gamma^-1

Resposta

(alphagamma)^-1=alpha^-1,gamma^-1

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