Estamos em um grupo (o grupo simétrico), onde sabemos que inverso de produto satisfaz (sigmatau)^-1=tau^-1sigma^-1. Aqui, porém, é mais fácil verificar diretamente para estas permutações.
Passo 2
Vamos reescrever alpha e gamma em notação cíclica, para ver sua ação de modo compacto: alpha envia 1to2, 2to3, 3to1, logo
alpha=(1,2,3)
gamma envia 1to3, 3to2, 2to1, logo
gamma=(1,3,2)
Passo 3
Calculemos o produto alphagamma. Lembrando que alphagamma significa “faça gamma e depois alpha”:
Para x=1: gamma(1)=3 e depois alpha(3)=1, logo (alphagamma)(1)=1.
Para x=2: gamma(2)=1 e alpha(1)=2, logo (alphagamma)(2)=2.
Para x=3: gamma(3)=2 e alpha(2)=3, logo (alphagamma)(3)=3.
Portanto
alphagamma = id,
a permutação identidade.
Passo 4
Como alphagamma=id, seu inverso é ele mesmo:
(alphagamma)^-1 = id^-1 = id
Passo 5
Agora achamos alpha^-1 e gamma^-1. Em notação cíclica, o inverso de um ciclo é o ciclo na ordem inversa de leitura:
alpha=(1,2,3)Longrightarrowalpha^-1=(1,3,2),
gamma=(1,3,2)Longrightarrowgamma^-1=(1,2,3)
Passo 6
Multiplicando alpha^-1gamma^-1, isto é, primeiro gamma^-1 depois alpha^-1: gamma^-1=(1,2,3) e alpha^-1=(1,3,2). Mas notamos que