Para a, b, c in Z, mostre que
(-a)^2=a^2;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em Z, vale
(-a)^2 = a^2
para todo a. Vamos usar as propriedades de anel dos inteiros: o inverso aditivo e a distributiva da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Prova de duas relações auxiliares. Primeiro, usando a distributiva à esquerda e que 0cdot b=0:
(a + (-a)),b = a,b + (-a),b = 0 Longrightarrow (-a),b = -(a,b)
Depois, usando a distributiva à direita e que bcdot 0=0:
b,(a + (-a)) = b,a + b,(-a) = 0 Longrightarrow b,(-a) = -(b,a)

Passo 3

Aplicando as relações com b = -a na primeira e b=a na segunda:
(-a),(-a) = -l(a,(-a)r),
a,(-a) = -(a,a) = -(a^2)

Passo 4

Substituindo em (-a),(-a) temos
(-a),(-a) = -l(-(a^2)r) = a^2,
pois o inverso aditivo de -(a^2) é a^2.

Resposta

(-a)^2 = a^2

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