Para
, mostre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
(que é um grupo abeliano sob adição), vale
Para isso vamos usar a definição de inverso aditivo (ou elemento oposto) e as propriedades de associatividade e comutatividade da adição em
, além da unicidade do inverso.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é um elemento inverso de
. De fato,
Pela associatividade e comutatividade,
Logo
somado a
dá
.
Passo 3
Por definição,
é o único elemento de
que somado a
produz
. Visto que também
satisfaz
pela unicidade do inverso aditivo concluímos