Para a, b, c in Z, mostre que
-(a+b)=-a-b;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em Z (que é um grupo abeliano sob adição), vale
-(a+b);=;-a - b
Para isso vamos usar a definição de inverso aditivo (ou elemento oposto) e as propriedades de associatividade e comutatividade da adição em Z, além da unicidade do inverso.

Passo 2

Mostramos primeiro que -a - b é um elemento inverso de a+b. De fato,
(-a - b) + (a + b) = l((-a) + (-b)r) + (a + b)
Pela associatividade e comutatividade,
l((-a) + (-b)r) + (a + b) = l((-a) + ar) + l((-b) + br) = 0 + 0 = 0
Logo (-a - b) somado a (a+b) 0.

Passo 3

Por definição, -(a+b) é o único elemento de Z que somado a (a+b) produz 0. Visto que também -a - b satisfaz
(-a - b) + (a + b) = 0,
pela unicidade do inverso aditivo concluímos
-(a+b) = -a - b

Resposta

-(a+b) = -a - b

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