Sejam
. Mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado nos pede para demonstrar, para quaisquer
, que
O que vamos usar é a compatibilidade da ordem em
com a multiplicação: se multiplicamos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, a desigualdade se inverte.
Passo 2
Suponha
. Como
, ao multiplicar a desigualdade
por
ambos os lados, a relação se inverte:
Mas
e
, logo
Passo 3
Agora suponha
. Aplicando novamente a multiplicação por
(número negativo) e invertendo a desigualdade, obtemos
isto é,
Resposta
Portanto, mostramos que para quaisquer
vale