Sejam d, e in Z. Mostre que d<e se, e somente se, -d>-e.

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar, para quaisquer d,einZ, que
d<e Long<=ftrightarrow -d>-e
O que vamos usar é a compatibilidade da ordem em Z com a multiplicação: se multiplicamos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, a desigualdade se inverte.

Passo 2

Suponha d<e. Como -1<0, ao multiplicar a desigualdade d<e por -1 ambos os lados, a relação se inverte:
(-1)cdot d ;>;(-1)cdot e
Mas (-1)cdot d=-d e (-1)cdot e=-e, logo
-d>-e

Passo 3

Agora suponha -d>-e. Aplicando novamente a multiplicação por -1 (número negativo) e invertendo a desigualdade, obtemos
(-1)cdot(-d);<;(-1)cdot(-e),
isto é,
d<e

Resposta

Portanto, mostramos que para quaisquer d,einZ vale
d<eLong<=ftrightarrow -d>-e

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