Para a, b, c in Z, mostre que
c(b-a)=cb-ca;

Passo 1

O enunciado pede para provar, para quaisquer inteiros a,b,c, que
c(b - a) = cb - ca
O conteúdo aqui é a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (e subtração) em Z. Vamos usar:
  1. A definição b - a = b + (-a).
  2. A distributividade em Z: x(y+z)=xy + xz.
  3. A propriedade do inverso aditivo: xcdot(-y)=-(x y).

Passo 2

Começamos reescrevendo a subtração em termos de soma com inverso aditivo:
b - a = b + (-a)
Logo,
c(b - a) = cl(b + (-a)r)

Passo 3

Pelo princípio da distributividade da multiplicação sobre a soma em Z, temos
cl(b + (-a)r) = cb + c(-a)

Passo 4

Agora usamos que, para todo c,ainZ, vale
c(-a)=-(c,a),
isto é, multiplicar pelo inverso aditivo é o mesmo que tomar o inverso aditivo do produto. Substituindo em cb + c(-a), obtemos
cb + c(-a) = cb + l(- (c,a)r) = cb - ca

Resposta

c(b - a) = cb - ca

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