Mostre, para todos a, b, c, d in Z, que
a<b Rightarrow a <= b;

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados a,b,c,dinZ, a relação
a<b
implica
a<= b
O conteúdo aqui é a ordem em Z definida via diferença de inteiros, e precisaremos usar as definições de “ <=” e de “ <” em termos de existência de uma soma com um inteiro não-negativo ou positivo.

Passo 2

Por definição em Z:
a <= b Long<=ftrightarrow exists,kinN tal que b = a + k,
onde N=0,1,2,dots.
De forma análoga,
a < b Long<=ftrightarrow exists,hinN^* tal que b = a + h,
onde N^*=1,2,3,dots.

Passo 3

Suponha a<b. Então existe hinN^* com
b = a + h
Mas N^*subsetN, logo esse mesmo h também é um elemento de N. Portanto existe k=hinN tal que
b = a + k,
o que, pela definição, implica a<= b.

Resposta

Fica demonstrado que, em Z,
a<bLongrightarrow a<= b

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