Para a, b, c in Z, mostre que
-(-a)=a;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ainZ, vale
-(-a)=a
O conteúdo aqui é a estrutura de grupo abeliano em (Z,+): vamos usar a existência e unicidade do inverso aditivo e a comutatividade da adição.

Passo 2

Por definição, o inverso aditivo de a, denotado por -a, é o único elemento de Z que satisfaz
a + (-a) = 0

Passo 3

Como a adição em Z é comutativa, inverte-se a ordem e obtemos
(-a) + a = 0

Passo 4

Pela definição de -(-a), ele é o único inteiro cuja soma com -a dá zero. Como acabamos de ver que
(-a) + a = 0,
concluímos que esse elemento é a. Portanto
-(-a)=a

Resposta

-(-a)=a.

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